Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3}, curva regular. Mostre que
(a) \alpha^{\prime \prime}(t) é paralelo ao plano osculador de \alpha em t
(b) O plano osculador de \alpha em um determinado valor t_{0} \in I é dado pelos pontos P \in \mathbb{R}^{3} tais que
(c) Para a curva \alpha(t)=(3t-t^2,\;3t^2,\;3t+t^3), obter explicitamente o plano osculador em t=1.
Informações relevantes fornecidas:
A curva é regular, ou seja \alpha'(t)\neq 0 para todo t.
Devemos usar a noção de plano osculador (plano que “melhor aproxima” a curva num ponto; será tratado como limite dos planos que passam por três pontos próximos ou como o plano gerado por \alpha'(t) e \alpha''(t)).
Para (c) serão necessárias as derivadas primeira e segunda de \alpha avaliadas em t=1.
Passo 2
Definição operacional do plano osculador (intuição e precisão que vamos usar).
Intuição: o plano osculador em t é o plano que melhor toca a curva naquele ponto — geometricamente é o plano que contém a tangente e a melhor direção de curvatura.
Definição que usaremos: o plano osculador em t pode ser visto como o limite, quando h\to 0, do plano que passa pelos três pontos \alpha(t),\\ \alpha(t+h),\\ \alpha(t+2h). Outra (equivalente, e mais prática) caracteriza-o como o plano gerado pelos vetores \alpha'(t) e \alpha''(t) (quando \alpha'(t) e \alpha''(t) são linearmente independentes). A partir dessa definição prática veremos (a) e (b).
Vou explicar por que essas duas descrições coincidem e por que \alpha''(t) fica no plano osculador (isso responde (a)).
Passo 3
Taylor (expansão local) de \alpha em torno de t até segunda ordem — ferramenta essencial.
Para uma curva suficientemente suave (assumimos pelo contexto), há as expansões em potências de h:
Cálculo do vetor normal ao plano determinado por \alpha(t),\alpha(t+h),\alpha(t+2h).
O vetor normal a esse plano é proporcional ao produto vetorial v_1\times v_2. Vamos expandir v_1\times v_2 usando as expressões do passo anterior e reter termos dominantes quando h\to0.
Escrevendo A=\alpha'(t) e B=\alpha''(t) para clareza, temos:
v_1 = hA + \frac{h^2}{2}B + o(h^2),\qquad v_2 = 2hA + 2h^2 B + o(h^2).
Agora o produto vetorial:
v_1\times v_2 = (hA)\times(2hA) + (hA)\times(2h^2 B) + \Big(\frac{h^2}{2}B\Big)\times(2hA) + \text{termos de ordem }o(h^3).
O primeiro termo é zero porque A\times A=0. Os outros dois termos somam:
Dividindo por h^3 e fazendo h\to0 vemos que a direção do vetor normal ao plano definido por \alpha(t),\alpha(t+h),\alpha(t+2h) converge para A\times B = \alpha'(t)\times\alpha''(t). Em outras palavras, o normal limite do plano é \alpha'(t)\times\alpha''(t), de modo que o plano limite (o plano osculador) é o plano que tem normal \alpha'(t)\times\alpha''(t) e que passa por \alpha(t).
Passo 5
Conclusão do item (a) a partir do passo anterior.
Se o plano osculador tem normal \alpha'(t)\times\alpha''(t), então ele é o plano gerado pelos vetores \alpha'(t) e \alpha''(t) (desde que \alpha'(t) e \alpha''(t) não sejam colineares). Logo \alpha''(t) está contido nesse plano — isto é, \alpha''(t) é paralelo (ou melhor: pertence) ao plano osculador. Isso responde (a).
Comentário didático curto: geometricamente, \alpha'(t) dá a direção da tangente; \alpha''(t) indica a direção em que a tangente muda (a curvatura) e, portanto, ambas as direções determinam o plano que melhor aproxima a curva no ponto.
Passo 6
Prova do item (b): equação do plano osculador.
Fato básico (vetorial / geométrico): se um plano passa por um ponto P_0 e tem vetor normal n, então o conjunto dos pontos P desse plano satisfaz
\langle P-P_0,\; n\rangle = 0,
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto escalar.
No caso do plano osculador em t_0 vimos no passo 4 que um vetor normal adequado é
n = \alpha'(t_0)\times \alpha''(t_0).
Tomando P_0=\alpha(t_0), a equação do plano osculador torna-se
Podemos simplificar (multiplicando por \tfrac{1}{18}) e usar um normal mais simples, por exemplo n_0=(0,-1,1) (qualquer múltiplo não nulo é normal válido).
A equação do plano com P=(x,y,z) e ponto \alpha(1)=(2,3,4) é
Assim o plano osculador em t=1 tem equação z-y=1.]
Resposta
(a) \alpha''(t) pertence ao plano osculador em t (ou seja, é paralelo ao plano osculador).
(b) O plano osculador em t_0 é dado por \displaystyle \left\langle P-\alpha(t_0),\; \alpha'(t_0)\wedge \alpha''(t_0)\right\rangle=0.
(c) Para \alpha(t)=(3t-t^2,\,3t^2,\,3t+t^3) em t=1, o plano osculador é z-y=1.