Seja \alpha : (-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=\left(\frac{3 a t}{1+t^{3}}, \frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}\right) .
Prove que:
(a) Para t=0, \alpha é tangente ao eixo O x.
(b) Quando t \rightarrow+\infty, \alpha(t) \rightarrow(0,0) e \alpha^{\prime}(t) \rightarrow(0,0).
(c) Considerando a curva com a orientação oposta, quando t \rightarrow-1, a curva e a sua tangente se aproximam da reta
x+y+a=0
Passo 1
O enunciado fornece a curva paramétrica \alpha:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}^2 dada por
onde a é uma constante real. O que precisamos provar é:
(a) Em t=0 a tangente à curva é paralela ao eixo Ox.
(b) Quando t\to +\infty temos \alpha(t)\to(0,0) e \alpha'(t)\to(0,0).
(c) Tomando a curva com orientação oposta (ou seja, olhando t\to-1^{+}), a curva e sua tangente aproximam-se da reta
x+y+a=0.
Lista das informações relevantes dadas: explicitamente temos as componentes de \alpha em função de t e o domínio t>-1. A resolução começa a partir dessas expressões, calculando derivadas e limites.
Passo 2
Calcular \alpha'(t) componente a componente. Vou usar a regra do quociente: se u(t)/v(t) com v(t)\neq0, então
Interpretação geométrica simples: o vetor tangente em t=0 tem segunda componente zero e primeira componente 3a. Isso significa que a tangente é uma reta horizontal (paralela ao eixo Ox). Portanto, em t=0 a curva é tangente ao eixo Ox, como pedido.
Passo 4
Tomemos as componentes de \alpha e examinem o limite para t\to+\infty. Uma maneira prática é dividir numerador e denominador pelo maior grau de t presente no denominador, que é t^{3}.
Portanto \lim_{t\to+\infty}\alpha(t)=(0,0). Intuição: numeradores têm grau menor que o denominador (grau 1 ou 2 contra grau 3), então cada componente tende a zero.
Passo 5
Usando as expressões de \alpha'(t) do Passo 2, observe os graus das funções no numerador e denominador para t grande.
Para x'(t)=\dfrac{3a(1-2t^{3})}{(1+t^{3})^{2}}: o numerador principal é de ordem t^{3} (termo -6a t^{3} dominante), e o denominador é de ordem t^{6}. Assim, à ordem principal
Logo \lim_{t\to+\infty}\alpha'(t)=(0,0). Em palavras: as componentes do vetor tangente também tendem a zero porque os denominadores crescem bem mais rápido que os numeradores.
Passo 6
É conveniente estudar a combinação x(t)+y(t)+a. Calcule-a diretamente:
Portanto \lim_{t\to-1^{+}}(x(t)+y(t)+a)=0, isto é, os pontos da curva, embora fujam para infinito em coordenadas separadas, satisfazem cada vez mais a relação x+y+a=0. Isso mostra que a reta x+y+a=0 é uma assimptota direcional da curva quando t\to-1^{+}.
Passo 7
Queremos mostrar que a direção da tangente tende à direção da reta x+y+a=0. A reta x+y+a=0 tem vetor diretor (1,-1) (porque é perpendicular a (1,1)). Assim basta mostrar que \alpha'(t) fica cada vez mais paralelo a (1,-1) quando t\to-1^{+}. Uma forma conveniente é estudar a soma das componentes do vetor tangente, x'(t)+y'(t): se essa soma tende a zero e as componentes não tendem conjuntamente a zero (ou tendem de modo que a razão y'/x'\to-1), então a tangente tem direção próxima de (1,-1).
Calcule x'(t)+y'(t) usando as expressões do Passo 2:
ou seja, as componentes tendem a infinito com sinais opostos e com a mesma magnitude dominante, o que reforça que
\frac{y'(t)}{x'(t)}\xrightarrow[t\to-1^{+}]}{-1}.
Isso mostra que o vetor tangente fica assintoticamente paralelo a (1,-1), logo a tangente aproxima-se da reta x+y+a=0.
Assim tanto os pontos da curva quando t\to-1^{+} quanto as direções das tangentes aproximam a reta x+y+a=0.
Resposta
(a) \alpha'(0)=(3a,0), logo a tangente em t=0 é paralela ao eixo Ox.
(b) \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\alpha(t)=(0,0) e \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\alpha'(t)=(0,0).
(c) \displaystyle\lim_{t\to-1^{+}}\bigl(x(t)+y(t)+a\bigr)=0 (a curva aproxima a reta x+y+a=0) e \displaystyle\lim_{t\to-1^{+}}\frac{y'(t)}{x'(t)}=-1 (a tangente aproxima-se da direção (1,-1), isto é, da reta x+y+a=0).