Calcule os elementos de Frenet das curvas:
\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t,-\frac{3}{5} \cos t\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se “os elementos de Frenet” da curva, ou seja: o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal principal N(t), o vetor binormal B(t), a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t).
  • A curva dada é \displaystyle \alpha(t)=\left(\frac{4}{5}\cos t,\;1-\sin t,\;-\frac{3}{5}\cos t\right) para t\in\mathbb{R}.
  • Vou usar as definições básicas (vou explicá‑las quando aparecerem):
    • Velocidade: \displaystyle v(t)=\|\alpha'(t)\|.
    • Vetor tangente unitário: \displaystyle T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
    • Curvatura: para parametrização por comprimento de arco ou em geral \displaystyle \kappa=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}}. Se \|\alpha'\|=1 então \kappa=\|T'(t)\|=\|\alpha''(t)\|.
    • Normal principal: \displaystyle N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|} (se \kappa\neq0).
    • Binormal: \displaystyle B(t)=T(t)\times N(t).
    • Torção: \displaystyle \tau(t)=-\langle B'(t),N(t)\rangle. Alternativamente \displaystyle \tau=\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}}.
      A partir daqui calculamos derivadas e aplicamos essas fórmulas.

Passo 2

Calcular \alpha'(t) (derivada primeira): derivando coordenada a coordenada,
\alpha'(t)=\left(-\frac{4}{5}\sin t,\;-\cos t,\;\frac{3}{5}\sin t\right).
Agora calculo o quadrado da norma para checar a velocidade:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\left(-\frac{4}{5}\sin t\right)^{2}+(-\cos t)^{2}+\left(\frac{3}{5}\sin t\right)^{2}.
Desenvolvendo:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\frac{16}{25}\sin^{2}t+\cos^{2}t+\frac{9}{25}\sin^{2}t=\frac{25}{25}\sin^{2}t+\cos^{2}t=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 3

Interpretação do passo anterior: \|\alpha'(t)\|=1 para todo t. Ou seja, a curva já está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso simplifica muito as fórmulas: T(t)=\alpha'(t) e \kappa(t)=\|\alpha''(t)\|, T'(t)=\alpha''(t).

Passo 4

Logo o vetor tangente unitário é simplesmente
T(t)=\alpha'(t)=\left(-\frac{4}{5}\sin t,\; -\cos t,\; \frac{3}{5}\sin t\right).
Faço uma pausa rápida para explicar: o vetor tangente aponta na direção da variação da curva; como a velocidade tem norma 1, não preciso dividir por nada.

Passo 5

Calcular \alpha''(t) (derivada segunda):
\alpha''(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).
Como T'(t)=\alpha''(t), este vetor está relacionado com a curvatura e com o normal.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa(t). Usando que \|\alpha'\|=1,
\kappa(t)=\|T'(t)\|=\|\alpha''(t)\|.
Calculo da norma:
\|\alpha''(t)\|^{2}=\left(-\frac{4}{5}\cos t\right)^{2}+(\sin t)^{2}+\left(\frac{3}{5}\cos t\right)^{2} =\frac{16}{25}\cos^{2}t+\sin^{2}t+\frac{9}{25}\cos^{2}t.
Somando os termos com \cos^{2}t:
\|\alpha''(t)\|^{2}=\frac{25}{25}\cos^{2}t+\sin^{2}t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Portanto
\kappa(t)=1.
Comentário didático: a curvatura constante igual a 1 significa que a curva “vira” com raio de curvatura 1 em todo ponto (raio é 1/\kappa).

Passo 7

Como \kappa=1 e T'(t)=\alpha''(t), o normal principal é
N(t)=\frac{T'(t)}{\kappa(t)}=\alpha''(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).
Verificação rápida: já vimos que \|\alpha''(t)\|=1, então N(t) é unitário e ortogonal a T(t).

Passo 8

Calcular o binormal B(t)=T(t)\times N(t). Para ajudar, já posso usar o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Faço componente a componente:
Se \alpha'=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \alpha''=(b_{1},b_{2},b_{3}), então
\alpha'\times\alpha''=\big(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\big).
Substituindo a_{1}=-\tfrac{4}{5}\sin t, a_{2}=-\cos t, a_{3}=\tfrac{3}{5}\sin t,
b_{1}=-\tfrac{4}{5}\cos t, b_{2}=\sin t, b_{3}=\tfrac{3}{5}\cos t, obtenho
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=\left(-\frac{3}{5},\;0,\;-\frac{4}{5}\right).
Verifico a norma:
\left\|\alpha'\times\alpha''\right\|=\sqrt{\left(-\tfrac{3}{5}\right)^{2}+0^{2}+\left(-\tfrac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=1.
Como T e N são unitários e ortogonais, o binormal unitário é exatamente esse vetor:
B(t)=\left(-\frac{3}{5},\;0,\;-\frac{4}{5}\right).
Observação: B(t) é constante (independe de t), o que indica que a curva é plana (toda a curva está contida num plano fixo).

Passo 9

Calcular a torção \tau(t). Uso a forma \tau=-\langle B',N\rangle. Como B(t) é constante, B'(t)=0. Logo
\tau(t)=-\langle 0,N(t)\rangle=0.
Alternativamente, poderia calcular \det(\alpha',\alpha'',\alpha''') e ver que dá zero; conclusão é a mesma: torção nula significa que a curva é planar.

Passo 10

Resumo das relações de Frenet (checagem das equações de Frenet-Serret): com \kappa=1 e \tau=0,
T'(t)=\kappa N(t)=N(t),\qquad N'(t)=-\kappa T(t)+\tau B(t)=-T(t),\qquad B'(t)= -\tau N(t)=0,
o que bate com nossos cálculos (de fato T'=\alpha''=N e N'=-T pode ser verificado derivando N e comparando).

Resposta

\kappa(t)=1
\tau(t)=0
T(t)=\left(-\dfrac{4}{5}\sin t,\; -\cos t,\; \dfrac{3}{5}\sin t\right)
N(t)=\left(-\dfrac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \dfrac{3}{5}\cos t\right)
B(t)=\left(-\dfrac{3}{5},\;0,\; -\dfrac{4}{5}\right)

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