Calcule os elementos de Frenet das curvas: \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t,-\frac{3}{5} \cos t\right)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
Pede-se “os elementos de Frenet” da curva, ou seja: o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal principal N(t), o vetor binormal B(t), a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t).
A curva dada é \displaystyle \alpha(t)=\left(\frac{4}{5}\cos t,\;1-\sin t,\;-\frac{3}{5}\cos t\right) para t\in\mathbb{R}.
Vou usar as definições básicas (vou explicá‑las quando aparecerem):
Curvatura: para parametrização por comprimento de arco ou em geral \displaystyle \kappa=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}}. Se \|\alpha'\|=1 então \kappa=\|T'(t)\|=\|\alpha''(t)\|.
Normal principal: \displaystyle N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|} (se \kappa\neq0).
Binormal: \displaystyle B(t)=T(t)\times N(t).
Torção: \displaystyle \tau(t)=-\langle B'(t),N(t)\rangle. Alternativamente \displaystyle \tau=\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}}.
A partir daqui calculamos derivadas e aplicamos essas fórmulas.
Passo 2
Calcular \alpha'(t) (derivada primeira): derivando coordenada a coordenada,
Interpretação do passo anterior: \|\alpha'(t)\|=1 para todo t. Ou seja, a curva já está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso simplifica muito as fórmulas: T(t)=\alpha'(t) e \kappa(t)=\|\alpha''(t)\|, T'(t)=\alpha''(t).
Faço uma pausa rápida para explicar: o vetor tangente aponta na direção da variação da curva; como a velocidade tem norma 1, não preciso dividir por nada.
Observação: B(t) é constante (independe de t), o que indica que a curva é plana (toda a curva está contida num plano fixo).
Passo 9
Calcular a torção \tau(t). Uso a forma \tau=-\langle B',N\rangle. Como B(t) é constante, B'(t)=0. Logo
\tau(t)=-\langle 0,N(t)\rangle=0.
Alternativamente, poderia calcular \det(\alpha',\alpha'',\alpha''') e ver que dá zero; conclusão é a mesma: torção nula significa que a curva é planar.
Passo 10
Resumo das relações de Frenet (checagem das equações de Frenet-Serret): com \kappa=1 e \tau=0,