(Retas como caminhos mais curtos) Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada. Seja [a, b] \subset I e defina \alpha(a)=p, \alpha(b)=q.
(a) Mostre que, para qualquer vetor constante v, com |v|=1,
(q-p) \cdot v=\int_{a}^{b} \alpha^{\prime}(t) \cdot v d t \leq \int_{a}^{b}\left|\alpha^{\prime}(t)\right| d t
(b) Defina
v=\frac{q-p}{|q-p|}
e mostre que
|\alpha(a)-\alpha(b)| \leq \int_{a}^{b}\left|\alpha^{\prime}(t)\right| d t
isto é, a curva com menor comprimento ligando estes pontos é o segmento de reta ligando estes pontos.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada \alpha: I \to \mathbb{R}^3 e um intervalo fechado [a,b]\subset I. Define-se \alpha(a)=p e \alpha(b)=q. As perguntas são:
(a) Para qualquer vetor constante v com |v|=1, mostrar que
ou seja, provar que o segmento de reta entre p e q é a curva de comprimento mínimo entre esses pontos.
Informações relevantes que usaremos (fornecidas ou imediatamente disponíveis):
p=\alpha(a), q=\alpha(b).
v é um vetor constante com norma 1 em (a); em (b) é a direção unitária de q-p.
\alpha é diferenciável (já que \alpha' aparece) no intervalo considerado, logo podemos aplicar propriedades do produto escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Propriedade do produto escalar com vetor constante: se v é constante (independente de t), a função escalar t\mapsto \alpha(t)\cdot v é diferenciável e sua derivada é
\frac{d}{dt}\big(\alpha(t)\cdot v\big)=\alpha'(t)\cdot v.
Explicação: o produto escalar é bilinear e a derivada em relação a t passa para o primeiro fator quando o segundo é constante. Aqui \alpha'(t) é a derivada componente a componente de \alpha, e o produto escalar com v é a soma das derivadas multiplicadas pelos componentes de v.
Passo 3
Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo à função t\mapsto \alpha(t)\cdot v. Integramos a igualdade da derivada no intervalo [a,b]:
\int_a^b \frac{d}{dt}\big(\alpha(t)\cdot v\big)\,dt = \big[\alpha(t)\cdot v\big]_{t=a}^{t=b} = \alpha(b)\cdot v - \alpha(a)\cdot v.
Usando a identidade da Passo 2, obtemos
\int_a^b \alpha'(t)\cdot v\,dt = q\cdot v - p\cdot v = (q-p)\cdot v.
Isto estabelece a igualdade no começo da desigualdade pedida em (a).
Passo 4
Desigualdade ponto a ponto no integrando: para cada t\in[a,b] vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o produto escalar em \mathbb{R}^3:
\alpha'(t)\cdot v \le |\alpha'(t)|\,|v|.
Aqui |\alpha'(t)| é a norma euclidiana de \alpha'(t) e |v| é a norma de v. Pela hipótese de (a) temos |v|=1, logo
\alpha'(t)\cdot v \le |\alpha'(t)|.
Comentário didático: a desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que para quaisquer vetores u,w em \mathbb{R}^3 torna-se u\cdot w \le |u|\,|w|. Aqui aplicamos com u=\alpha'(t) e w=v.
Passo 5
Integramos a desigualdade da Passo 4 no intervalo [a,b]. Como a desigualdade vale para todo t, pela monotonicidade da integral temos
Então, aplicando a desigualdade já provada em (a),
|q-p| \le \int_a^b |\alpha'(t)|\,dt.
Observação sobre o caso q=p: se q=p então a desigualdade é trivial (0 \le integral não negativa).
Passo 7
Interpretação geométrica e condição de igualdade: a integral \int_a^b |\alpha'(t)|\,dt é o comprimento da curva \alpha no intervalo [a,b]. A desigualdade em (b) diz que o comprimento do segmento de reta entre p e q é menor ou igual ao comprimento de qualquer curva diferenciável que ligue p a q. Portanto o segmento de reta é a curva de comprimento mínimo entre os dois pontos.
Quando ocorre igualdade? Para termos igualdade em (a)/(b) precisamos que, para quase todo t, tenhamos \alpha'(t)\cdot v = |\alpha'(t)|. Pela Cauchy–Schwarz isso ocorre exatamente quando \alpha'(t) é um vetor paralelo a v e apontando no mesmo sentido, i.e. \alpha'(t)=\lambda(t)v com \lambda(t)\ge 0. Assim a curva deve ter direção constante igual à direção do segmento q-p (pode haver reparametrização por velocidade \lambda(t)), o que caracteriza um segmento de reta parametrizado possivelmente de forma não afim.
Exemplo concreto: a parametrização do segmento de reta de p a q por \beta(s)=p+s(q-p) com s\in[0,1] tem \beta'(s)=q-p e comprimento
Resumo curto do raciocínio para a prova na hora da prova: derivar \alpha(t)\cdot v, integrar (FTC) para obter (q-p)\cdot v=\int \alpha'\cdot v, aplicar Cauchy–Schwarz para cada t e integrar para obter a desigualdade; escolher v unitário na direção de q-p para transformar o lado esquerdo em |q-p|, portanto |q-p|\le comprimento da curva.