Seja alpha: R R^3 uma curva regular e três vezes derivável tal que alpha(0)=(0,0,0), alpha^prime(0)=(2,1,1), alpha^prime prime(0)=(4,3,1) e alpha^prime prime prime(0)=(1,0,1).
(a) Determine a aceleração tangencial, a aceleração normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet em t=0.
(b) Determine a reta tangente e o plano osculador à curva no ponto alpha(0).

Passo 1

A questão pede para, no ponto t=0, achar a aceleração tangencial aT, a aceleração normal aN, a curvatura kappa, a torção tau e o triedro de Frenet (vetores T,N,B), e depois descrever a reta tangente e o plano osculador. Vamos usar derivados alpha'(0)=(2,1,1), alpha''(0)=(4,3,1), alpha'''(0)=(1,0,1).

Passo 2

Para calcular aT, aN e kappa lembramos que se v=alpha'(0) e a=alpha''(0), então
|v|=raiz2^2+1^2+1^2=raiz6,
vcdot a=2cdot4+1cdot3+1cdot1=12
A aceleração tangencial é
aT=vcdot a|v|=12raiz6=2raiz6
A aceleração normal satisfaz aN=raiz|a|^2 - aT^2, e como |a|^2=4^2+3^2+1^2=26 temos
aN=raiz26-(2raiz6)^2=raiz26-24=raiz2
A curvatura é dada por
kappa=aN|v|^2=raiz2(raiz6)^2=raiz26

Passo 3

A torção usa a fórmula
tau=(vtimes a)cdot b|vtimes a|^2,
onde b=alpha'''(0)=(1,0,1). Primeiro
vtimes a=(2,1,1)times(4,3,1)=(-2,2,2),
(vtimes a)cdot b=(-2)cdot1+2cdot0+2cdot1=0,
e |vtimes a|^2=(2raiz3)^2=12. Logo
tau=0

Passo 4

Para o triedro de Frenet, o versor tangente é
T=v|v|=(2,1,1)raiz6
O versor normal é
N=a - aT,T|a - aT,T|,
onde aT,T=2raiz6,(2,1,1)/raiz6=(4,2,2), então a - aTT=(0,1,-1) e
N=(0,1,-1)raiz0^2+1^2+(-1)^2=l(0,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
O binormal é
B=Ttimes N=l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)

Passo 5

A reta tangente em alpha(0)=(0,0,0) com direção v=(2,1,1) fica
r(s)=(0,0,0)+s,(2,1,1),
e o plano osculador é aquele com normal igual ao binormal B, ou seja
(-1,1,1)cdot(x,y,z)=0Longrightarrow -x+y+z=0

Resposta

a_T=2\sqrt6,\quad a_N=\sqrt2,\quad \kappa=\frac{\sqrt2}{6},\quad \tau=0,
T=\frac{(2,1,1)}{\sqrt6},\quad N=(0,\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}),\quad B=(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}),
Reta tangente: r(s)=(0,0,0)+s(2,1,1),
Plano osculador: -x+y+z=0.

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