Seja
uma curva regular e três vezes derivável tal que
,
e
.
(a) Determine a aceleração tangencial, a aceleração normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet em
.
(b) Determine a reta tangente e o plano osculador à curva no ponto
.
(a) Determine a aceleração tangencial, a aceleração normal, a curvatura, a torção e o triedro de Frenet em
(b) Determine a reta tangente e o plano osculador à curva no ponto
Passo 1
A questão pede para, no ponto t=0, achar a aceleração tangencial
, a aceleração normal
, a curvatura
, a torção
e o triedro de Frenet (vetores
), e depois descrever a reta tangente e o plano osculador. Vamos usar derivados
,
,
.
Passo 2
Para calcular
,
e
lembramos que se
e
, então
A aceleração tangencial é
A aceleração normal satisfaz
, e como
temos
A curvatura é dada por
Passo 3
A torção usa a fórmula
onde
. Primeiro
e
. Logo
Passo 4
Para o triedro de Frenet, o versor tangente é
O versor normal é
onde
, então
e
O binormal é
Passo 5
A reta tangente em
com direção
fica
e o plano osculador é aquele com normal igual ao binormal
, ou seja
Resposta
a_T=2\sqrt6,\quad a_N=\sqrt2,\quad \kappa=\frac{\sqrt2}{6},\quad \tau=0,
T=\frac{(2,1,1)}{\sqrt6},\quad N=(0,\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}),\quad B=(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}),
Reta tangente: r(s)=(0,0,0)+s(2,1,1),
Plano osculador: -x+y+z=0.