(Exercício 5 da lista 4 do moodle 2,5 pontos) Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 5 N / m. A massa é solta 3 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 4 m / s para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência ( em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea ( em m / s ). Encontre uma fórmula para a posição (em função do tempo) se a massa sofre a ação de uma força externa igual a F(t)=12 cos (2 t)+3 sin (2 t)(em N, para baixo, com tem s). Como o movimento se comporta a longo prazo?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido e forçado: massa m=1 kg, constante k=5 N/m, força de amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente b=2 (força de resistência =2v), deslocamento inicial de 3 m para baixo (direção positiva) e velocidade inicial de 4 m/s para baixo. A força externa aplicada para baixo é F(t)=12 cos(2t)+3 sin(2t). Vamos montar e resolver a equação diferencial de segunda ordem e depois analisar o comportamento a longo prazo.

Passo 2

A equação de movimento geral para massa-mola-amortecimento com força externa é
m x'' + b x' + k x = F(t)
Substituindo m=1, b=2, k=5 e F(t):
x'' + 2x' +5x = 12cos(2t) + 3sin(2t)

Passo 3

Para a solução homogênea, resolvemos a equação característica
r^2 +2r +5=0,
cuja raiz é r= -1 ±2i. Logo a solução homogênea é
xh(t) = e^-tigl(Acos(2t) + Bsin(2t)r) 

Passo 4

Para a particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Testamos
xp(t)= Ccos(2t) + Dsin(2t)
Derivando e substituindo em x’’+2x’+5x =12 cos2t+3 sin2t, obtemos o sistema
C + 4D =12, D - 4C =3
Resolvendo, achamos C=0 e D=3. Logo
xp(t)=3sin(2t)

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)= e^-tl(Acos(2t) + Bsin(2t)r) + 3sin(2t)

Passo 6

Aplicando as condições iniciais, em t=0 temos x(0)=3=massa solta 3 m para baixo e x’(0)=4 m/s para baixo. De x(0)=A=3. Calculando x’(t) e impondo x’(0)=4 resulta em B=1/2.

Passo 7

Portanto a solução completa é
x(t)= e^-tl(3cos(2t) + tfrac12sin(2t)r) + 3sin(2t)
A longo prazo o termo exponencial decai, restando
x(t)to 3sin(2t),
o que significa um regime permanente senoidal de amplitude 3 e frequência angular 2 rad/s.

Resposta

A fórmula da trajetória é
x(t)= e^-tl(3cos(2t) + tfrac12sin(2t)r) + 3sin(2t)
A longo prazo o movimento tende a oscilar continuamente segundo
x(t)=3sin(2t),
um regime permanente senoidal de amplitude 3 e frequência angular 2 rad/s.

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