(Exercício 5 da lista 4 do moodle 2,5 pontos) Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a
. A massa é solta 3 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência ( em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea (
). Encontre uma fórmula para a posição (em função do tempo) se a massa sofre a ação de uma força externa igual a
, para baixo, com tem s). Como o movimento se comporta a longo prazo?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido e forçado: massa m=1 kg, constante k=5 N/m, força de amortecimento proporcional à velocidade com coeficiente b=2 (força de resistência =2v), deslocamento inicial de 3 m para baixo (direção positiva) e velocidade inicial de 4 m/s para baixo. A força externa aplicada para baixo é F(t)=12 cos(2t)+3 sin(2t). Vamos montar e resolver a equação diferencial de segunda ordem e depois analisar o comportamento a longo prazo.
Passo 2
A equação de movimento geral para massa-mola-amortecimento com força externa é
Substituindo m=1, b=2, k=5 e F(t):
Passo 3
Para a solução homogênea, resolvemos a equação característica
cuja raiz é r= -1 ±2i. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Testamos
Derivando e substituindo em x’’+2x’+5x =12 cos2t+3 sin2t, obtemos o sistema
Resolvendo, achamos C=0 e D=3. Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Aplicando as condições iniciais, em t=0 temos x(0)=3=massa solta 3 m para baixo e x’(0)=4 m/s para baixo. De x(0)=A=3. Calculando x’(t) e impondo x’(0)=4 resulta em B=1/2.
Passo 7
Portanto a solução completa é
A longo prazo o termo exponencial decai, restando
o que significa um regime permanente senoidal de amplitude 3 e frequência angular 2 rad/s.
Resposta
A fórmula da trajetória é
A longo prazo o movimento tende a oscilar continuamente segundo
um regime permanente senoidal de amplitude 3 e frequência angular 2 rad/s.