Seja alpha<0. Sabe-se que
f(x)=(x^2+2) e^2 alpha x
é côncava para cima em (-infty, infty) e existe x0 em (-infty, infty) tal que f^prime prime(x0)=0.
O valor de l=x0 é
Resposta: (1) l=1 / 2, (2) l=-2, (3) l=2, (4) l=-1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = l(x^2+2r)e^2alpha x,
com alpha<0, e afirma que f é côncava para cima em (-infty,infty) e que existe x0 tal que f''(x0)=0.
Precisamos calcular f''(x), impor que f''(x)>=0 para todo x com igualdade num ponto, e determinar esse ponto x0.

Passo 2

Usando regra do produto, seja g(x)=x^2+2. Então
f'(x)=l(g'(x)+2alpha,g(x)r)e^2alpha x =(2x+2alpha(x^2+2))e^2alpha x
Outra vez aplicando produto, obtemos
f''(x)=l(2+4alpha x+2alpha,(2x+2alpha(x^2+2))r)e^2alpha x =l(4alpha^2x^2+8alpha x+8alpha^2+2r)e^2alpha x

Passo 3

Como e^2alpha x>0, o sinal de f''(x) é dado pelo polinômio
P(x)=4alpha^2x^2+8alpha x+(8alpha^2+2)
Para que P(x)>=0 em toda reta e haja exatamente um ponto em que P(x)=0, o discriminante de P deve ser zero:
De<a = (8alpha)^2-4cdot4alpha^2cdot(8alpha^2+2) =32alpha^2(1-4alpha^2)=0 Longrightarrow alpha^2=tfrac14
Como alpha<0, segue alpha=-tfrac12.

Passo 4

Com alpha=-tfrac12, o polinômio P(x) tem coeficiente a=4alpha^2 e b=8alpha, logo a raiz dupla é
x0=-b2a=-8alpha2cdot4alpha^2=-1alpha =2

Resposta

l = 2

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