Seja
Encontre o número
de pontos de inflexão de
.
Resposta: (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o número
de pontos de inflexão de
. O conteúdo envolve derivadas segunda e teste de mudança de concavidade.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas primeira e segunda de
.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
A derivada segunda é
Passo 3
Os candidatos a ponto de inflexão vêm de
, ou seja,
que dá raízes em
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
).
Para ser ponto de inflexão, deve mudar de sinal quando atravessa a raiz:
Para ser ponto de inflexão,
- Em
: como a raiz é de ordem par, mantém o mesmo sinal de ambos os lados de . De fato, para e para , temos e , logo em ambos os lados. Não há mudança de concavidade em . - Em
: raiz de ordem ímpar. Para mas próximo de , ; para , . Há mudança de sinal de negativo para positivo, caracterizando um ponto de inflexão em .
Passo 4
Só a raiz
gera mudança de concavidade, portanto há exatamente um ponto de inflexão.
Resposta
(
)