Seja
y=f(x)=3 x^5-5 x^4+60
Encontre o número k de pontos de inflexão de y=f(x).
Resposta: (1) k=0, (2) k=1, (3) k=2, (4) k=3, (5) k=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = f(x) = 3x^5 - 5x^4 + 60
e pede o número k de pontos de inflexão de f. O conteúdo envolve derivadas segunda e teste de mudança de concavidade.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas primeira e segunda de f.
A derivada primeira é
f'(x) = ddxl(3x^5 - 5x^4 + 60r) = 15x^4 - 20x^3
A derivada segunda é
f''(x) = ddxl(15x^4 - 20x^3r) = 60x^3 - 60x^2 = 60x^2(x - 1)

Passo 3

Os candidatos a ponto de inflexão vêm de f''(x)=0, ou seja,
60x^2(x - 1)=0
que dá raízes em x=0 (multiplicidade 2) e x=1 (multiplicidade 1).
Para ser ponto de inflexão, f'' deve mudar de sinal quando atravessa a raiz:
  • Em x=0: como a raiz é de ordem par, f''(x) mantém o mesmo sinal de ambos os lados de x=0. De fato, para x<0 e para 0<x<1, temos x^2>0 e x-1<0, logo f''<0 em ambos os lados. Não há mudança de concavidade em x=0.
  • Em x=1: raiz de ordem ímpar. Para x<1 mas próximo de 1, x-1<0 Rightarrow f''<0; para x>1, x-1>0 Rightarrow f''>0. Há mudança de sinal de negativo para positivo, caracterizando um ponto de inflexão em x=1.

Passo 4

Só a raiz x=1 gera mudança de concavidade, portanto há exatamente um ponto de inflexão.

Resposta

( 2) k=1

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