Seja
y=f(x)=1x^2+1
Qual afirmação é verdadeira?
(1) y=f(x) é côncava para cima em (0,2),
(2) y=f(x) é côncava para baixo em (-1,-1 / 2),
(3) y=f(x) é côncava para cima em (-1 / 2,1 / 2),
(4) y=f(x) é côncava para baixo em (0,1 / 2).

Passo 1

O enunciado dá a função
y = f(x) = 1x^2+1
e pede em qual dos intervalos a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada f''(x) e estudar seu sinal: f''(x)>0 implica concavidade para cima e f''(x)<0 implica concavidade para baixo.

Passo 2

Primeiro derivamos f(x) usando regra do quociente ou notação de potência:
f(x) = (x^2+1)^-1
f'(x) = -1cdot (x^2+1)^-2cdot 2x = -2x(x^2+1)^2
Agora derivamos f'(x) (produto de -2x com (x^2+1)^-2):
f''(x) = ddx!l(-2x,(x^2+1)^-2r) = -2,(x^2+1)^-2 + (-2x)cdotl(-4x,(x^2+1)^-3r)

Passo 3

Colocando em denominador comum (x^2+1)^3, obtemos
f''(x) = -2(x^2+1) + 8x^2(x^2+1)^3 = 6x^2 - 2(x^2+1)^3 = 2,(3x^2-1)(x^2+1)^3
Como (x^2+1)^3>0 para todo x, o sinal de f''(x) vem de 3x^2-1:
- Se 3x^2-1>0, ou seja lvert xrvert > 1raiz3, então f''(x)>0 (côncava para cima).
- Se 3x^2-1<0, ou seja lvert xrvert < tfrac1raiz3, então f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 4

Analisamos cada intervalo face ao ponto de inflexão x=pm 1/raiz3approxpm0,577:
( 1) Em (0,2) há parte em 0<x<1/raiz3 com f''<0, logo não é toda côncava para cima.
( 2) Em (-1,-1/2) parte de -1<-1/raiz3 (côncava para cima) e parte de -1/raiz3<x<-1/2 (côncava para baixo), logo não é uniformemente côncava para baixo.
( 3) Em l(-tfrac12,tfrac12r) temos lvert xrvert<1/raiz3, logo f''<0, é côncava para baixo, não para cima.
( 4) Em (0,1/2) temos 0<x<1/2<1/raiz3, logo lvert xrvert<1/raiz3 e f''(x)<0: a função é côncava para baixo em todo esse intervalo.

Resposta

( 4) y=f(x) é côncava para baixo em (0,,tfrac12).

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