Seja
Qual afirmação é verdadeira?
(1)
é côncava para cima em
,
(2)
é côncava para baixo em
,
(3)
é côncava para cima em
,
(4)
é côncava para baixo em
.
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em qual dos intervalos a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada
e estudar seu sinal:
implica concavidade para cima e
implica concavidade para baixo.
Passo 2
Primeiro derivamos
usando regra do quociente ou notação de potência:
Agora derivamos
(produto de
com
):
Passo 3
Colocando em denominador comum
, obtemos
Como
para todo
, o sinal de
vem de
:
- Se , ou seja
, então
(côncava para cima).
- Se , ou seja
, então
(côncava para baixo).
- Se
- Se
Passo 4
Analisamos cada intervalo face ao ponto de inflexão
:
( ) Em
há parte em
com
, logo não é toda côncava para cima.
( ) Em
parte de
(côncava para cima) e parte de
(côncava para baixo), logo não é uniformemente côncava para baixo.
( ) Em
temos
, logo
, é côncava para baixo, não para cima.
( ) Em
temos
, logo
e
: a função é côncava para baixo em todo esse intervalo.
(
(
(
(
Resposta
(
)
é côncava para baixo em
.