Seja ( an ) uma sequência limitada e
lim n infty bn= uma sequência convergente, com M>0 0 . Mostre que a sequência n converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante an=cos (n)n tal que para todo .)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)

Passo 1

Primeiro, entendi que a questão trata de duas partes: (i) provar que se (a_n) é limitada e (b_n) converge a 0, então (a_n·b_n) converge a 0 usando o Teorema do Confronto; (ii) calcular limntoinfty cos(n)n usando esse resultado.

Passo 2

Como (a_n) é limitada, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Então, para cada n, temos
|ancdot bn| = |an|,|bn| <= M,|bn|
Como bnto0, sabemos que M,|bn|to0. Pelo Teorema do Confronto (se uma sequência xn satisfaz |xn|<= yn e ynto0, então xnto0), concluímos que an,bnto0.

Passo 3

Agora, para an=cos(n)n, basta notar que cos(n) é limitada ( |cos(n)|<=1) e 1nto0. Logo, pelo resultado anterior,
limntoinftycos(n)n = 0

Resposta

0

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