Seja (
) uma sequência limitada e
uma sequência convergente, com
0 . Mostre que a sequência
converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante
tal que
para todo
.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Passo 1
Primeiro, entendi que a questão trata de duas partes: (i) provar que se (a_n) é limitada e (b_n) converge a 0, então (a_n·b_n) converge a 0 usando o Teorema do Confronto; (ii) calcular
usando esse resultado.
Passo 2
Como (a_n) é limitada, existe
tal que
para todo
. Então, para cada
, temos
Como
Passo 3
Agora, para
, basta notar que
é limitada (
) e
. Logo, pelo resultado anterior,