Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.

Passo 1

Temos a EDO
(1+t^2)y'+4t,y=1(1+t^2)^2
Esse é um caso clássico de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo tudo por 1+t^2 obtemos:
y'+4t1+t^2,y=1(1+t^2)^3

Passo 3

Calculemos o fator integrante
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral 4t1+t^2dt
Como integral 4t1+t^2dt=2ln(1+t^2), vem
mu(t)=e^2ln(1+t^2)=(1+t^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Assim o lado esquerdo vira derivada de (1+t^2)^2y e o direito é
(1+t^2)^2cdot1(1+t^2)^3=11+t^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
ddtl((1+t^2)^2yr)=11+t^2
(1+t^2)^2y=integral11+t^2dt=arctan t+C

Passo 6

Finalmente isolamos y:
y(t)=arctan t+C(1+t^2)^2
Como os coeficientes são contínuos para todo tin R, a solução existe e é única em qualquer intervalo contido em (-infty,infty).

Resposta

A solução geral é
y(t)=arctan t+C(1+t^2)^2,
e ela existe em todo o eixo real tin(-infty,infty).

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