Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções não têm limite quando (x, y) (0,0)
f(x, y)=x^4x^4 mid y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=x^4x^4 + y^2 não tem limite em (0,0). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar testar aproximações por diferentes curvas para ver se o valor do limite depende do caminho.

Passo 2

Escolhemos a trajetória y=0. Substituindo em f temos
f(x,0)=x^4x^4+0=1
Para qualquer xneq0 próximo de zero, f(x,0)=1. Logo, ao longo de y=0, o limite é 1.

Passo 3

Agora escolhemos a trajetória x=0. Substituindo em f obtemos
f(0,y)=00+y^2=0
Para qualquer yneq0 próximo de zero, f(0,y)=0. Logo, ao longo de x=0, o limite é 0.

Passo 4

Como obtivemos dois valores diferentes ( 1 por y=0 e 0 por x=0), o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) depende da direção de aproximação e, portanto, não existe.

Passo 5

(Opcional) Para ver ainda mais caminhos, podemos usar y=mx^2. Substituindo temos
f(x,mx^2)=x^4x^4+(mx^2)^2=x^4x^4+m^2x^4=11+m^2
Esse valor varia com m, confirmando de forma geral que o limite depende do caminho.

Resposta

A função não possui limite em (0,0) porque, ao aproximar-se por diferentes trajetórias, obtemos valores distintos (por exemplo, 1 e 0), logo não há limite único.

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