Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções não têm limite quando
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não tem limite em
. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar testar aproximações por diferentes curvas para ver se o valor do limite depende do caminho.
Passo 2
Escolhemos a trajetória
. Substituindo em
temos
Para qualquer
próximo de zero,
. Logo, ao longo de
, o limite é
.
Passo 3
Agora escolhemos a trajetória
. Substituindo em
obtemos
Para qualquer
próximo de zero,
. Logo, ao longo de
, o limite é
.
Passo 4
Como obtivemos dois valores diferentes (
por
e
por
), o limite de
quando
depende da direção de aproximação e, portanto, não existe.
Passo 5
(Opcional) Para ver ainda mais caminhos, podemos usar
. Substituindo temos
Esse valor varia com
, confirmando de forma geral que o limite depende do caminho.
Resposta
A função não possui limite em
porque, ao aproximar-se por diferentes trajetórias, obtemos valores distintos (por exemplo,
e
), logo não há limite único.