Seja (an) uma sequência de números reais tal que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
f(x)=sumn=0^infty an x^n
e indique a afirmação falsa.
(e) lim x -1^+ f^prime(x)=L in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de números reais (an) que satisfaz a condição |an-1| <= 2^-n para todo número natural n. Isso significa que cada termo an está bem perto de 1, e a distância entre an e 1 diminui exponencialmente conforme n aumenta. A gente precisa analisar a série de potências f(x) = sumn=0^infty an x^n e descobrir qual das afirmações apresentadas é falsa. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série de potências dada: f(x) = sumn=0^infty an x^n. Sabemos que para séries de potências centradas em 0, o raio de convergência pode ser encontrado usando o critério da razão ou o critério da raiz. No nosso caso, como |an - 1| <= 2^-n, isso sugere que an converge para 1 rapidamente, o que é útil para determinar o comportamento da série.

Passo 3

Vamos verificar o raio de convergência da série f(x). Usando o critério da raiz, calculamos:
limsupn to infty raiz[n]|an| = limsupn to infty raiz[n]|1 + (an - 1)| <= limsupn to infty raiz[n]1 + 2^-n = 1
Então, o raio de convergência R é 1. Isso significa que a série converge para |x| < 1 e precisamos analisar o comportamento quando x se aproxima de -1 pela direita, ou seja, x to -1^+.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da série f(x). A derivada de uma série de potências é dada termo a termo dentro do raio de convergência:
f'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Queremos analisar o limite limx to -1^+ f'(x).

Passo 5

Para investigar esse limite, substituímos x = -1 na derivada:
f'(-1) = sumn=1^infty n an (-1)^n-1
Vamos ver se essa série converge. Sabemos que an está próximo de 1, então a série se comporta aproximadamente como:
sumn=1^infty n (-1)^n-1
Essa é uma série alternada divergente, já que o termo geral n não tende a zero.

Passo 6

Como a série sumn=1^infty n (-1)^n-1 diverge, isso implica que f'(-1) não existe finitamente. Portanto, o limite limx to -1^+ f'(x) não é um número real finito.

Resposta

A afirmação (e) é falsa.

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