Seja
uma sequência de números reais tal que
para todo
. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
e indique a afirmação falsa.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de números reais
que satisfaz a condição
para todo número natural
. Isso significa que cada termo
está bem perto de 1, e a distância entre
e 1 diminui exponencialmente conforme
aumenta. A gente precisa analisar a série de potências
e descobrir qual das afirmações apresentadas é falsa. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série de potências dada:
. Sabemos que para séries de potências centradas em 0, o raio de convergência pode ser encontrado usando o critério da razão ou o critério da raiz. No nosso caso, como
, isso sugere que
converge para 1 rapidamente, o que é útil para determinar o comportamento da série.
Passo 3
Vamos verificar o raio de convergência da série
. Usando o critério da raiz, calculamos:
Então, o raio de convergência
é 1. Isso significa que a série converge para
e precisamos analisar o comportamento quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da série
. A derivada de uma série de potências é dada termo a termo dentro do raio de convergência:
Queremos analisar o limite
.
Passo 5
Para investigar esse limite, substituímos
na derivada:
Vamos ver se essa série converge. Sabemos que
está próximo de 1, então a série se comporta aproximadamente como:
Essa é uma série alternada divergente, já que o termo geral
não tende a zero.
Passo 6
Como a série
diverge, isso implica que
não existe finitamente. Portanto, o limite
não é um número real finito.
Resposta
A afirmação (e) é falsa.