Seja
uma sequência de números reais tal que
para todo
. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
e indique a afirmação falsa.
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais
que está bem próxima de 1, já que
para todo
. A função considerada é uma série de potências centrada em 0, ou seja:
O que precisamos fazer é verificar se a afirmação (d) é falsa. A afirmação diz que:
(d)
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma série de potências e analisar seu comportamento quando
se aproxima de 1 pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Sabemos que se temos uma série de potências como
, a derivada em relação a
é:
Observe que começamos a soma a partir de
porque a derivada de
(que é 1) é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando
.
Substituindo
na expressão da derivada, temos:
Sabemos que
, o que significa que
está muito próximo de 1, especialmente para valores grandes de
. Isso implica que podemos aproximar
.
Portanto, a soma se aproxima de:
Passo 4
A soma
é uma série divergente, o que significa que ela cresce sem limite à medida que
aumenta. Portanto,
tende para
.
Passo 5
Como
tende para
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, a afirmação de que
está incorreta.
Resposta
A afirmação (d) é falsa, pois o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda é
, não
.