Seja (an) uma sequência de números reais tal que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
f(x)=sumn=0^infty an x^n
e indique a afirmação falsa.
(d) lim x 1^- f^prime(x)=-infty.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais (an) que está bem próxima de 1, já que |an-1| <= 2^-n para todo n. A função considerada é uma série de potências centrada em 0, ou seja:
f(x) = sumn=0^infty an x^n
O que precisamos fazer é verificar se a afirmação (d) é falsa. A afirmação diz que:
(d) lim x 1^- f^prime(x) = -infty.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma série de potências e analisar seu comportamento quando x se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x). Sabemos que se temos uma série de potências como f(x) = sumn=0^infty an x^n, a derivada em relação a x é:
f^prime(x) = sumn=1^infty an n x^n-1
Observe que começamos a soma a partir de n=1 porque a derivada de x^0 (que é 1) é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de f^prime(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando x 1^-.
Substituindo x = 1 na expressão da derivada, temos:
f^prime(1) = sumn=1^infty an n
Sabemos que |an - 1| <= 2^-n, o que significa que an está muito próximo de 1, especialmente para valores grandes de n. Isso implica que podemos aproximar an approx 1.
Portanto, a soma se aproxima de:
f^prime(1) approx sumn=1^infty n

Passo 4

A soma sumn=1^infty n é uma série divergente, o que significa que ela cresce sem limite à medida que n aumenta. Portanto, f^prime(1) tende para +infty.

Passo 5

Como f^prime(x) tende para +infty quando x se aproxima de 1 pela esquerda, a afirmação de que lim x 1^- f^prime(x) = -infty está incorreta.

Resposta

A afirmação (d) é falsa, pois o limite de f^prime(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda é +infty, não -infty.

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