Resolver a equação
no anel (z/(10), +, .).
Seja o conjunto
. Mostrar que a terna
.
Seja o conjunto
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Primeira parte: resolver a equação
no anel
. Ou seja, encontrar todas as classes
que satisfazem essa igualdade (os representantes podem ser tomados em
).
- Segunda parte: seja o conjunto
Mostrar que a terna
NÃO É UM ANEL. Ou seja, demonstrar que alguma das propriedades de anel (tipicamente fechamento em soma e produto, existência de identidade etc.) falha para
; basta fornecer uma contraexemplo direto acompanhado de uma prova de que ele realmente quebra a propriedade.
Não há outras informações numéricas a extrair do enunciado.
Passo 2
Resolvendo a equação em
: ideia prática e porquê.
O anel tem característica que
. Uma técnica padrão é decompor congruências módulo
em congruências simultâneas módulo
e módulo
, porque
e
são coprimos e vale o Teorema Chinês dos Restos (CRT): uma solução modulo
corresponde a uma escolha de soluções modulo
e modulo
compatíveis. Vou usar isso porque simplifica: resolver a equação módulo
e módulo
e depois combinar.
O anel
Então vamos considerar a equação original como congruência de inteiros
e analisar separadamente os casos módulo
e módulo
.
Passo 3
Análise módulo
. Reduzindo os coeficientes módulo
:
Logo a congruência reduz a
isto é, a congruência é
, verdadeira para todo
. Conclusão: não há restrição módulo
; qualquer classe
tem redução válida em
.
Passo 4
Análise módulo
. Reduzimos a congruência modulo
:
Os coeficientes ficam
mod
(já são menores que
), então a congruência é
Podemos multiplicar ambos os lados por
modulo
para simplificar, lembrando que o inverso de
em
é
porque
. Multiplicando por
obtemos
Agora resolvemos essa quadrática modulo o primo
. Use a fórmula quadrática em corpo
: para
temos discriminante
Como
e
em
, as soluções são
Aqui
significa multiplicar por
. Calculando cada opção:
-
Para o sinal
: . Multiplicando por : . Então . -
Para o sinal
: . Multiplicando por : . Então .
Portanto as soluções módulo
são
e
(mod
).
Passo 5
Combinação via CRT para obter soluções módulo
.
Da análise módulo qualquer resto é permitido (ou seja, tanto par quanto ímpar são possíveis). Das soluções módulo
temos duas classes:
e
(mod
). Cada uma dessas classes modulo
corresponde a duas classes distintas modulo
: somando
ou
.
Da análise módulo
-
Classe
corresponde aos representantes modulo : e (porque ). -
Classe
corresponde aos representantes modulo : e .
Logo as soluções em
são as classes
Podemos checar rapidamente (uma verificação simples):
Passo 6
Agora a segunda questão: provar que
não é um anel. A ideia direta é verificar fechamento sob multiplicação: tomar dois elementos de
cujo produto não pertence a
. Um candidato natural é
e
(pois
,
).
Multiplicando:
Se conseguirmos mostrar que
, isso mostra que
não é fechado sob multiplicação e portanto não é um anel.
Suponha, por contradição, que exista representação inteira
com
. Vou manipular essa igualdade para obter uma contradição aritmética.
Passo 7
Expansão e separação das partes irracionais. Pegando a hipótese
e elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
Agora expandimos o quadrado passo a passo (usando distributividade e
,
,
):
Reescrevendo, temos uma combinação linear em quatro elementos
:
Passo 8
Argumento sobre independência linear das bases e conclusão que leva à contradição.
Os números são linearmente independentes sobre
: isto significa que uma combinação racional
Os números
implica
. (Uma maneira breve de ver isso é aplicar as quatro aplicações que mudam o sinal de
e/ou
— as quatro “conjugações”
— obtendo um sistema linear em
com matriz invertível; portanto todas as
devem ser zero. Esse argumento é padrão ao estudar extensões quadráticas independentes.)
Aplicando essa independência ao parágrafo anterior (os coeficientes são números racionais, neste caso inteiros), obtemos o sistema de igualdades:
- Coeficiente da base
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Mas
e
são inteiros, e não há inteiros com produto igual a
. Isso é uma contradição. Portanto a hipótese de que
pertence a
é falsa.
Passo 9
Conclusão do segundo item:
e
pertencem a
mas seu produto
não pertence a
. Logo
não é fechado sob multiplicação e, portanto,
NÃO É UM ANEL.