Seja o anel (Z/(30), +, .) das classes residuais módulo 30. Determinar:
-\overline{2},-\overline{7} e -\overline{11}

Passo 1

O enunciado dá o anel (\mathbb{Z}/30\mathbb{Z},+,\cdot) das classes residuais módulo 30 e pede explicitamente os inversos aditivos de três classes:
  • Determinar -\overline{2}.
  • Determinar -\overline{7}.
  • Determinar -\overline{11}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \overline{a} denota a classe de resto de a módulo 30.
  • A operação que nos importa aqui é a adição do anel; o “menos” indica o inverso aditivo (a classe que somada à dada produz \overline{0}).

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): o inverso aditivo de uma classe \overline{a} é uma classe \overline{b} tal que
\overline{a}+\overline{b}=\overline{0}.
Isso significa, por definição de classes modulares, que
a+b\equiv 0\pmod{30},
ou seja b\equiv -a\pmod{30}. Assim um representante simples para o inverso aditivo é \overline{-a}. Para escolher um representante no conjunto habitual \{0,1,2,\dots,29\} usa-se a identidade
\overline{-a}=\overline{30-a}\qquad(\text{quando }a\not\equiv 0\pmod{30}),
pois -a\equiv 30-a\pmod{30}. Vou aplicar isso para cada caso.

Passo 3

Calcular -\overline{2}.
Usando a regra -\overline{a}=\overline{30-a}, com a=2 obtemos
30-2=28,
então um representante natural é \overline{28}. Verificação:
\overline{2}+\overline{28}=\overline{2+28}=\overline{30}=\overline{0},
logo -\overline{2}=\overline{28}.

Passo 4

Calcular -\overline{7}.
Aplicando a mesma regra com a=7:
30-7=23,
portanto -\overline{7}=\overline{23}. Verificação:
\overline{7}+\overline{23}=\overline{30}=\overline{0}.

Passo 5

Calcular -\overline{11}.
Com a=11:
30-11=19,
logo -\overline{11}=\overline{19}. Verificação:
\overline{11}+\overline{19}=\overline{30}=\overline{0}.

Resposta

\;-\overline{2}=\overline{28}
\;-\overline{7}=\overline{23}
\;-\overline{11}=\overline{19}

Exercícios relacionados