Seja A um anel com unidade. Se a \in A e n \in \mathbb{Z} vamos definir n a da seguinte forma:
  • 0_{A}, se n=0;
  • a, se n=1;
  • n a=a+\cdots+a \mathrm{n} vezes, se n \geq 2;
  • -a, se n=-1;
  • (-a)+\cdots+(-a) n vezes se n \leq-2.
Mostre que
(m n) 1_{A}=\left(m 1_{A}\right)\left(n 1_{A}\right)

Passo 1

O enunciado dá um anel com unidade A (unidade denotada por 1_{A}) e dá uma definição explícita do inteiro multiplicado por um elemento: para a\in A e n\in\mathbb{Z} define-se n a como soma repetida de a (ou soma de -a quando n é negativo), com os casos óbvios para n=0,\pm1. O que pede é provar que, para quaisquer inteiros m,n,
(mn)1_{A}=\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr).
Informações relevantes que temos: a definição de n a dada no enunciado, e as propriedades do anel A (associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro 1_{A} para a multiplicação, existência de elemento neutro aditivo 0_{A}, existência de inversos aditivos, e distributividade da multiplicação sobre a adição). Não vamos resolver ainda; apenas fixamos o que é dado e o que deve ser mostrado.

Passo 2

Vamos primeiro provar um lema útil: para quaisquer inteiros r,s e qualquer a\in A vale
(r+s)a = r a + s a.
Isso diz que somar inteiros antes de multiplicar por a equivale a somar as somas repetidas separadamente. Vou mostrar isso por casos (primeiro para r,s\ge 0, depois para negativos), porque a definição de n a é em termos de soma repetida.
Prova para r,s\ge 0: quando r e s são não-negativos, r a é a soma de r cópias de a e s a é a soma de s cópias de a. Então r a + s a é a soma de r+s cópias de a, ou seja, pela própria definição (r+s)a = r a + s a. Para deixar isso formal: se r=0 ou s=0 a conta é trivial; caso contrário escrevemos explicitamente as somas e juntamos os termos.
Agora para negativos: se r<0 escrevemos r=-r' com r'>0. Pela definição (-r')a = -(r'a). Então
(r+s)a = (-r')a + s a = -(r'a) + s a.
Se s\ge r' podemos ver s a -(r'a) = (s-r')a usando a parte já provada para não-negativos; se s<r' a diferença será -(r'-s)a. Em todos os subcasos a igualdade (r+s)a = r a + s a é satisfeita, usando a propriedade de inverso aditivo em A. (Esses casos são rotina: a definição de soma repetida e as propriedades aditivas do anel garantem a igualdade.)
Portanto o lema (r+s)a = r a + s a vale para todos os inteiros r,s e todo a\in A.

Passo 3

Outro lema importante: para k\in\mathbb{Z} vale (-k)1_{A} = -(k1_{A}). Isto é praticamente pela própria definição: se k\ge 0 então (-k)1_{A} é soma de -1_{A} repetida k vezes, isto é (-k)1_{A} = (-1_{A})+\cdots+(-1_{A}) k vezes, e isto é exatamente o inverso aditivo de k1_{A} = 1_{A}+\cdots+1_{A}. Para k=0 ambos são 0_{A}. Então o lema é óbvio pela definição de multiplicação de inteiro por elemento em A.

Passo 4

Agora tratamos o caso principal: m,n são ambos inteiros não-negativos. Quero mostrar que
(mn)1_{A}=\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr).
Primeiro veja que se m=0 então o lado esquerdo é (0\cdot n)1_{A}=0_{A} e o lado direito é (0\cdot1_{A})(n1_{A})=0_{A}\cdot(n1_{A})=0_{A} (porque 0_{A} é elemento neutro aditivo e anéis satisfazem 0\cdot x=0). Logo a igualdade é verdadeira para m=0.
Para m\ge 1 escrevemos m1_{A}=1_{A}+\cdots+1_{A} ( m vezes). Então, usando a distributividade da multiplicação em A sobre a adição, temos
\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = \bigl(1_{A}+\cdots+1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr).
Aplicando a distributividade repetidamente (ou, formalmente, por indução sobre m) obtemos
\bigl(1_{A}+\cdots+1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = (1_{A})(n1_{A}) + \cdots + (1_{A})(n1_{A})
com m parcelas. Mas (1_{A})(n1_{A}) = n1_{A} porque 1_{A} é a unidade multiplicativa. Assim a soma acima é simplesmente n1_{A}+\cdots+n1_{A} com m parcelas, isto é, pela definição de multiplicação de inteiro por elemento,
\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = m\bigl(n1_{A}\bigr).
Usando agora o lema do Passo 2 com r=m e s=0 aplicado ao elemento 1_{A} ou observando que a soma repetida de n1_{A} m vezes é exatamente (mn)1_{A} (porque m vezes n cópias de 1_{A} mn cópias de 1_{A}), concluímos
m\bigl(n1_{A}\bigr)=(mn)1_{A}.
Combinando as igualdades achadas temos a desejada
\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr)=(mn)1_{A}
para todos m,n\ge 0.", "Agora estendemos a igualdade ao caso geral, quando m e/ou n podem ser negativos. Use que (-k)1_{A}=-(k1_{A}) do Passo 3 e que a multiplicação em A é bilinear em relação à adição (distributiva). Tome por exemplo o caso em que m é negativo e n é arbitrário. Escreva m=-m

Passo 5

com m'>0. Então, usando o resultado para positivos (Passo 4) e o lema do Passo 3,
\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = \bigl((-m')1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = \bigl(-(m'1_{A})\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr).
Pela distributividade da multiplicação sobre a adição (ou pelas propriedades usuais de multiplicar por -1) isso é
-(m'1_{A})(n1_{A}).
Pelo caso positivo (Passo 4) (m'1_{A})(n1_{A})=(m'n)1_{A}, então o produto vale
-(m'n)1_{A} = \bigl((-m')n\bigr)1_{A} = (mn)1_{A},
onde na última igualdade usamos mn = (-m')n = -(m'n). Assim a igualdade tem-se quando m é negativo. Se n é negativo o argumento é análogo (ou trocamos papéis de m e n). Finalmente, se ambos são negativos, m=-m', n=-n', então
\bigl(m1_{A}\bigr)\bigl(n1_{A}\bigr) = \bigl(-(m'1_{A})\bigr)\bigl(-(n'1_{A})\bigr) = (m'1_{A})(n'1_{A})
porque (-x)(-y)=xy em qualquer anel, e pelo caso positivo isso é (m'n')1_{A} = (mn)1_{A}. Portanto a igualdade vale para todas as combinações de sinais.

Passo 6

Resumo do raciocínio: para m,n\ge 0 mostramos diretamente pela distributividade que (m1_{A})(n1_{A})=m(n1_{A})=(mn)1_{A}. Para inteiros negativos usamos que multiplicar por um negativo corresponde a tomar o inverso aditivo e que isso comporta-se bem com a multiplicação do anel, de forma que os sinais aparecem corretamente. Em todos os casos chegamos à igualdade desejada.

Resposta

(mn)1_{A}=\left(m1_{A}\right)\left(n1_{A}\right)

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