Seja
um anel com unidade. Se
e
vamos definir
da seguinte forma:
-
, se
;
-
, se
;
-
vezes, se
;
-
, se
;
-
vezes se
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um anel com unidade
(unidade denotada por
) e dá uma definição explícita do inteiro multiplicado por um elemento: para
e
define-se
como soma repetida de
(ou soma de
quando
é negativo), com os casos óbvios para
. O que pede é provar que, para quaisquer inteiros
,
Informações relevantes que temos: a definição de
dada no enunciado, e as propriedades do anel
(associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro
para a multiplicação, existência de elemento neutro aditivo
, existência de inversos aditivos, e distributividade da multiplicação sobre a adição). Não vamos resolver ainda; apenas fixamos o que é dado e o que deve ser mostrado.
Passo 2
Vamos primeiro provar um lema útil: para quaisquer inteiros
e qualquer
vale
Isso diz que somar inteiros antes de multiplicar por
equivale a somar as somas repetidas separadamente. Vou mostrar isso por casos (primeiro para
, depois para negativos), porque a definição de
é em termos de soma repetida.
Prova para
: quando
e
são não-negativos,
é a soma de
cópias de
e
é a soma de
cópias de
. Então
é a soma de
cópias de
, ou seja, pela própria definição
. Para deixar isso formal: se
ou
a conta é trivial; caso contrário escrevemos explicitamente as somas e juntamos os termos.
Agora para negativos: se
escrevemos
com
. Pela definição
. Então
Se
podemos ver
usando a parte já provada para não-negativos; se
a diferença será
. Em todos os subcasos a igualdade
é satisfeita, usando a propriedade de inverso aditivo em
. (Esses casos são rotina: a definição de soma repetida e as propriedades aditivas do anel garantem a igualdade.)
Portanto o lema
vale para todos os inteiros
e todo
.
Passo 3
Outro lema importante: para
vale
. Isto é praticamente pela própria definição: se
então
é soma de
repetida
vezes, isto é
vezes, e isto é exatamente o inverso aditivo de
. Para
ambos são
. Então o lema é óbvio pela definição de multiplicação de inteiro por elemento em
.
Passo 4
Agora tratamos o caso principal:
são ambos inteiros não-negativos. Quero mostrar que
Primeiro veja que se
então o lado esquerdo é
e o lado direito é
(porque
é elemento neutro aditivo e anéis satisfazem
). Logo a igualdade é verdadeira para
.
Para
escrevemos
(
vezes). Então, usando a distributividade da multiplicação em
sobre a adição, temos
Aplicando a distributividade repetidamente (ou, formalmente, por indução sobre
) obtemos
com
parcelas. Mas
porque
é a unidade multiplicativa. Assim a soma acima é simplesmente
com
parcelas, isto é, pela definição de multiplicação de inteiro por elemento,
Usando agora o lema do Passo 2 com
e
aplicado ao elemento
ou observando que a soma repetida de
vezes é exatamente
(porque
vezes
cópias de
dá
cópias de
), concluímos
Combinando as igualdades achadas temos a desejada
para todos
.", "Agora estendemos a igualdade ao caso geral, quando
e/ou
podem ser negativos. Use que
do Passo 3 e que a multiplicação em
é bilinear em relação à adição (distributiva). Tome por exemplo o caso em que
é negativo e
é arbitrário. Escreva
Passo 5
com
. Então, usando o resultado para positivos (Passo 4) e o lema do Passo 3,
Pela distributividade da multiplicação sobre a adição (ou pelas propriedades usuais de multiplicar por
) isso é
Pelo caso positivo (Passo 4)
, então o produto vale
onde na última igualdade usamos
. Assim a igualdade tem-se quando
é negativo. Se
é negativo o argumento é análogo (ou trocamos papéis de
e
). Finalmente, se ambos são negativos,
, então
porque
em qualquer anel, e pelo caso positivo isso é
. Portanto a igualdade vale para todas as combinações de sinais.
Passo 6
Resumo do raciocínio: para
mostramos diretamente pela distributividade que
. Para inteiros negativos usamos que multiplicar por um negativo corresponde a tomar o inverso aditivo e que isso comporta-se bem com a multiplicação do anel, de forma que os sinais aparecem corretamente. Em todos os casos chegamos à igualdade desejada.