Seja D um domínio de integridade e a, b, c \in D. Mostre que se a \neq 0 e a b=a c, então b=c.

Passo 1

O enunciado dá que D é um domínio de integridade e que a,b,c\in D. Diz que a\neq 0 e que
ab = ac.
A pergunta é: mostrar que a partir disso se segue b=c.
Informações relevantes dadas: a, b, c pertencem a D; a é diferente de zero; ab=ac; D é um domínio de integridade.

Passo 2

Subtraio o mesmo elemento dos dois lados da igualdade para agrupar: escrevo
ab-ac=0.
Aqui usei que ab=ac para escrever a diferença como zero. Note que toda ocorrência de ab e ac está dentro de ambiente matemático.

Passo 3

Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação em anéis (que vale em D): fatorando a na expressão anterior tenho
a(b-c)=0.
Explicando: a distributividade diz que para quaisquer x,y,z em um anel vale x y - x z = x(y-z). Apliquei isso com x=a, y=b, z=c.

Passo 4

Lembro da definição-chave de domínio de integridade: é um anel comutativo com unidade (geralmente) que não tem divisores de zero. “Não ter divisores de zero” significa que, se x y = 0 em D, então necessariamente x=0 ou y=0.
Como temos a(b-c)=0 e estamos supondo a\neq 0, a propriedade “sem divisores de zero” do domínio D força
b-c=0.

Passo 5

Se b-c=0, então b=c. Isto conclui a demonstração: a partir de a\neq 0 e ab=ac em um domínio de integridade segue b=c.

Passo 6

Para fixar a ideia: a razão desta prova é que em domínios de integridade podemos “cancelar” um fator não nulo. Importante também ver por que a hipótese “domínio de integridade” é essencial: em um anel com divisores de zero a cancelamento pode falhar. Exemplo concreto em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}: tomando \overline{a}=\overline{2}, \overline{b}=\overline{1}, \overline{c}=\overline{4} temos
\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2},\qquad \overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{2},
logo \overline{a}\,\overline{b}=\overline{a}\,\overline{c} mas \overline{b}\neq\overline{c}. Isso acontece porque \overline{2} é divisor de zero (pois \overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0}), mostrando que a hipótese “sem divisores de zero” é necessária. Força aí, você consegue repetir esse raciocínio sozinho na prova!

Resposta

b=c

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