Seja
um domínio de integridade e
. Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um domínio de integridade e que
. Diz que
e que
A pergunta é: mostrar que a partir disso se segue
.
Informações relevantes dadas: ,
,
pertencem a
;
é diferente de zero;
;
é um domínio de integridade.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Subtraio o mesmo elemento dos dois lados da igualdade para agrupar: escrevo
Aqui usei que
para escrever a diferença como zero. Note que toda ocorrência de
e
está dentro de ambiente matemático.
Passo 3
Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação em anéis (que vale em
): fatorando
na expressão anterior tenho
Explicando: a distributividade diz que para quaisquer
em um anel vale
. Apliquei isso com
,
,
.
Passo 4
Lembro da definição-chave de domínio de integridade: é um anel comutativo com unidade (geralmente) que não tem divisores de zero. “Não ter divisores de zero” significa que, se
em
, então necessariamente
ou
.
Como temos e estamos supondo
, a propriedade “sem divisores de zero” do domínio
força
Como temos
Passo 5
Se
, então
. Isto conclui a demonstração: a partir de
e
em um domínio de integridade segue
.
Passo 6
Para fixar a ideia: a razão desta prova é que em domínios de integridade podemos “cancelar” um fator não nulo. Importante também ver por que a hipótese “domínio de integridade” é essencial: em um anel com divisores de zero a cancelamento pode falhar. Exemplo concreto em
: tomando
,
,
temos
logo
mas
. Isso acontece porque
é divisor de zero (pois
), mostrando que a hipótese “sem divisores de zero” é necessária. Força aí, você consegue repetir esse raciocínio sozinho na prova!