Seja
um número primo e
. Definimos soma e produto em
como: Usar as propriedades nas que precisarem
Mostre que
é um domínio de integridade.
Passo 1
O enunciado dá
um número primo e o conjunto
,
com as operações
com as operações
e
Pede-se: mostrar que
é um domínio de integridade.
Informações relevantes dadas:
-
é primo e . - Elementos de
têm a forma com . - As operações de soma e produto estão explicitadas acima.
Passo 2
Definições e estratégia (explicação didática do que precisamos provar).
- Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações (
e ) que satisfaz as leis usuais (associatividade, comutatividade da soma, existência de 0 e inversos aditivos, distributividade, existência de unidade multiplicativa, e comutatividade do produto). - Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não tem divisores de zero, isto é, não existem
tais que .
Objetivo: mostrar queé um anel comutativo com unidade e que não possui divisores de zero.
Passo 3
Fechamento, identidade aditiva e inversos aditivos, identidade multiplicativa.
- Fechamento da soma: se
e com , então e . Logo . - Fechamento do produto: produto dado por
e , logo . - Identidade aditiva:
e . - Inverso aditivo: para
o inverso é , que está em . - Identidade multiplicativa:
e .
Essas propriedades mostram fechamento e identidades básicas; as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade serão tratadas a seguir como herdadas da estrutura dos números reais.
Passo 4
Interpretação dentro de
e consequente validade das leis.
Defina a aplicação por
Defina a aplicação
isto é, interpretamos
como o número real usual. Essa aplicação preserva soma e produto (pela definição das operações acima):
e
. Portanto as leis de anel (associatividade, comutatividade do produto, distributividade) valem em
porque valem em
e as operações coincidem. Assim
é um subanel de
(contém
e fechado para soma e produto).
Observação necessária (unicidade da escrita): se
com
então
. Como
é irracional (prova curta: se
em fração irreduzível então
implica
e
divide
então divide
, contradizendo irreduzibilidade), a única forma de
com inteiros é
e
. Assim a representação é única e a inclusão em
é injetora.
Passo 5
Conclusão parcial:
é um anel comutativo com unidade.
Das observações anteriores segue que satisfaz todas as axiomas de anel comutativo com unidade (as propriedades algébricas vêm de
; já mostramos que
e
pertencem e há inversos aditivos). Falta mostrar que não há divisores de zero.
Das observações anteriores segue que
Passo 6
Definir o norm(a) e mostrar multiplicatividade do norm (ferramenta chave).
Definimos a norma inteira
Definimos a norma inteira
para
. Vamos verificar que
é multiplicativa, isto é,
Calcule o produto e aplique
. Primeiro o produto é
. Então
(na expansão os termos
se cancelam). Assim
é multiplicativa.
Passo 7
Usar a norma para eliminar a possibilidade de divisores de zero.
Se existissem não nulos com
, então aplicando
obteríamos
Se existissem
Portanto
ou
. Assim basta provar que
implica
.
Passo 8
Provar que
implica
(argumento por divisibilidade/infinite descent).
Suponha . Então
Suponha
Como
é primo,
divide
, logo
divide
. Escreva
com
. Substituindo:
Isto mostra que
divide
, logo
divide
. Assim
e
são ambos múltiplos de
. Escreva
,
e voltamos à mesma equação para
:
Repetindo o argumento obteríamos que
também são múltiplos de
, e assim por diante. Isso gera uma sucessão infinita de divisibilidades por
, o que é impossível para inteiros não simultaneamente zero (não se pode ter um par inteiro não nulo com todos os seus componentes divisíveis por arbitrariamente grandes potências de
). A única maneira de evitar essa contradição é ter
. Logo
implica
.
(Outra maneira: escolher um par
não nulo com
mínimo e mostrar que ambos são múltiplos de
dá um par menor, contradição; conclusão
.)
Passo 9
Conclusão final: sem divisores de zero e comutatividade/unidade.
Do Passo 7 e Passo 8 segue que não existem tais que
. Como no Passo 5 já estabelecemos que
é um anel comutativo com unidade, concluímos que é um domínio de integridade.
Do Passo 7 e Passo 8 segue que não existem