Seja p \geq 2 um número primo e \mathbb{Z}[\sqrt{p}]=\{a+b \sqrt{p} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}. Definimos soma e produto em \mathbb{Z}[\sqrt{p}] como: Usar as propriedades nas que precisarem
\begin{aligned} +: \mathbb{Z}[\sqrt{p}] \times \mathbb{Z}[\sqrt{p}] & \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{p}] \\\ (a+b \sqrt{p}, c+d \sqrt{p}) & \mapsto(a+c)+(b+d) \sqrt{p} \end{aligned}
\begin{aligned} \cdot: \mathbb{Z}[\sqrt{p}] \times \mathbb{Z}[\sqrt{p}] & \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{p}] \\\ (a+b \sqrt{p}, c+d \sqrt{p}) & \mapsto(a c+p b d)+(a d+b c) \sqrt{p} \end{aligned}
Mostre que (\mathbb{Z}[\sqrt{p}],+, \cdot) é um domínio de integridade.

Passo 1

O enunciado dá \;p\ge 2 um número primo e o conjunto
\mathbb{Z}[\sqrt{p}]=\{a+b\sqrt{p}\mid a,b\in\mathbb{Z}\},
com as operações
(a+b\sqrt{p})+(c+d\sqrt{p})=(a+c)+(b+d)\sqrt{p}
e
(a+b\sqrt{p})\cdot(c+d\sqrt{p})=(ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}.
Pede-se: mostrar que \;(\mathbb{Z}[\sqrt{p}],+,\cdot)\; é um domínio de integridade.
Informações relevantes dadas:
  • p é primo e p\ge 2.
  • Elementos de \mathbb{Z}[\sqrt{p}] têm a forma a+b\sqrt{p} com a,b\in\mathbb{Z}.
  • As operações de soma e produto estão explicitadas acima.

Passo 2

Definições e estratégia (explicação didática do que precisamos provar).
  • Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações ( + e \cdot) que satisfaz as leis usuais (associatividade, comutatividade da soma, existência de 0 e inversos aditivos, distributividade, existência de unidade multiplicativa, e comutatividade do produto).
  • Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não tem divisores de zero, isto é, não existem x,y\neq0 tais que xy=0.
    Objetivo: mostrar que \mathbb{Z}[\sqrt{p}] é um anel comutativo com unidade e que não possui divisores de zero.

Passo 3

Fechamento, identidade aditiva e inversos aditivos, identidade multiplicativa.
  • Fechamento da soma: se x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p} com a,b,c,d\in\mathbb{Z}, então x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{p} e a+c,b+d\in\mathbb{Z}. Logo x+y\in\mathbb{Z}[\sqrt{p}].
  • Fechamento do produto: produto dado por (ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p} e ac+pbd,\,ad+bc\in\mathbb{Z}, logo xy\in\mathbb{Z}[\sqrt{p}].
  • Identidade aditiva: 0=0+0\sqrt{p}\in\mathbb{Z}[\sqrt{p}] e x+0=x.
  • Inverso aditivo: para x=a+b\sqrt{p} o inverso é -x=-a-b\sqrt{p}, que está em \mathbb{Z}[\sqrt{p}].
  • Identidade multiplicativa: 1=1+0\sqrt{p}\in\mathbb{Z}[\sqrt{p}] e 1\cdot x = x.
    Essas propriedades mostram fechamento e identidades básicas; as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade serão tratadas a seguir como herdadas da estrutura dos números reais.

Passo 4

Interpretação dentro de \mathbb{R} e consequente validade das leis.
Defina a aplicação \iota:\mathbb{Z}[\sqrt{p}]\to\mathbb{R} por
\iota(a+b\sqrt{p})=a+b\sqrt{p},
isto é, interpretamos a+b\sqrt{p} como o número real usual. Essa aplicação preserva soma e produto (pela definição das operações acima): \iota(x+y)=\iota(x)+\iota(y) e \iota(xy)=\iota(x)\iota(y). Portanto as leis de anel (associatividade, comutatividade do produto, distributividade) valem em \mathbb{Z}[\sqrt{p}] porque valem em \mathbb{R} e as operações coincidem. Assim \mathbb{Z}[\sqrt{p}] é um subanel de \mathbb{R} (contém 1 e fechado para soma e produto).
Observação necessária (unicidade da escrita): se a+b\sqrt{p}=c+d\sqrt{p} com a,b,c,d\in\mathbb{Z} então (a-c)+(b-d)\sqrt{p}=0. Como \sqrt{p} é irracional (prova curta: se \sqrt{p}=r/s em fração irreduzível então p=(r/s)^2 implica p s^2=r^2 e p divide r^2 então divide r, contradizendo irreduzibilidade), a única forma de (a-c)+(b-d)\sqrt{p}=0 com inteiros é a-c=0 e b-d=0. Assim a representação é única e a inclusão em \mathbb{R} é injetora.

Passo 5

Conclusão parcial: \mathbb{Z}[\sqrt{p}] é um anel comutativo com unidade.
Das observações anteriores segue que \mathbb{Z}[\sqrt{p}] satisfaz todas as axiomas de anel comutativo com unidade (as propriedades algébricas vêm de \mathbb{R}; já mostramos que 0 e 1 pertencem e há inversos aditivos). Falta mostrar que não há divisores de zero.

Passo 6

Definir o norm(a) e mostrar multiplicatividade do norm (ferramenta chave).
Definimos a norma inteira
N(a+b\sqrt{p})=a^2-pb^2,
para a,b\in\mathbb{Z}. Vamos verificar que N é multiplicativa, isto é,
N\big((a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})\big)=N(a+b\sqrt{p})\;N(c+d\sqrt{p}).
Calcule o produto e aplique N. Primeiro o produto é (ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}. Então
\begin{aligned} N\big((a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})\big) &=(ac+pbd)^2-p(ad+bc)^2 \\\ &=a^2c^2 +2ac\cdot pbd + p^2 b^2 d^2 - p(a^2 d^2 +2ad\cdot bc + b^2 c^2)\\\ &=a^2c^2 - p b^2 c^2 - p a^2 d^2 + p^2 b^2 d^2 + 2p ac bd - 2p ac bd\\\ &=(a^2-pb^2)(c^2-pd^2)\\\ &=N(a+b\sqrt{p})\;N(c+d\sqrt{p}). \end{aligned}
(na expansão os termos 2p ac bd se cancelam). Assim N é multiplicativa.

Passo 7

Usar a norma para eliminar a possibilidade de divisores de zero.
Se existissem x,y\in\mathbb{Z}[\sqrt{p}] não nulos com xy=0, então aplicando N obteríamos
0=N(xy)=N(x)N(y).
Portanto N(x)=0 ou N(y)=0. Assim basta provar que N(x)=0 implica x=0.

Passo 8

Provar que N(a+b\sqrt{p})=0 implica a=b=0 (argumento por divisibilidade/infinite descent).
Suponha N(a+b\sqrt{p})=0. Então
a^2-pb^2=0\quad\Longrightarrow\quad a^2=p b^2.
Como p é primo, p divide a^2, logo p divide a. Escreva a=p a_1 com a_1\in\mathbb{Z}. Substituindo:
p^2 a_1^2 = p b^2 \quad\Longrightarrow\quad p a_1^2 = b^2.
Isto mostra que p divide b^2, logo p divide b. Assim a e b são ambos múltiplos de p. Escreva a=p a_1, b=p b_1 e voltamos à mesma equação para (a_1,b_1):
a_1^2 = p b_1^2.
Repetindo o argumento obteríamos que a_1,b_1 também são múltiplos de p, e assim por diante. Isso gera uma sucessão infinita de divisibilidades por p, o que é impossível para inteiros não simultaneamente zero (não se pode ter um par inteiro não nulo com todos os seus componentes divisíveis por arbitrariamente grandes potências de p). A única maneira de evitar essa contradição é ter a=b=0. Logo N(x)=0 implica x=0.
(Outra maneira: escolher um par (a,b) não nulo com |a|+|b| mínimo e mostrar que ambos são múltiplos de p dá um par menor, contradição; conclusão a=b=0.)

Passo 9

Conclusão final: sem divisores de zero e comutatividade/unidade.
Do Passo 7 e Passo 8 segue que não existem x,y\neq0 tais que xy=0. Como no Passo 5 já estabelecemos que \mathbb{Z}[\sqrt{p}] é um anel comutativo com unidade, concluímos que é um domínio de integridade.

Resposta

(\mathbb{Z}[\sqrt{p}],+, \cdot) é um domínio de integridade.

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