Seja A B C D E F G H um paralelepípedo tal que A B=A D=A E=6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos ( \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P} ) abaixo:
\mathrm{M}=\mathrm{A}, \mathrm{N}=\mathrm{C}, \mathrm{P}= ponto médio de FG

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo com arestas iguais A B=A D=A E=6. Os pontos pedidos são:
  • \mathrm{M}=A.
  • \mathrm{N}=C.
  • \mathrm{P}= ponto médio de F G.
O que o problema pede: estudar a seção do paralelepípedo pelo plano que passa por M,N,P; ou seja, pelo plano que passa por A, por C e pelo ponto médio de F G. Lista das informações relevantes que já temos:
  • O paralelepípedo tem arestas de comprimento 6 que saem de A nos três sentidos ortogonais; portanto é um cubo de lado 6.
  • Vou precisar das coordenadas dos vértices para achar a equação do plano e as interseções com as arestas do cubo.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples (padrão para cubos). Coloco:
A=(0,0,0),\qquad B=(6,0,0),\qquad C=(6,6,0),\qquad D=(0,6,0),
E=(0,0,6),\qquad F=(6,0,6),\qquad G=(6,6,6),\qquad H=(0,6,6).
Justificativa rápida: coloquei as arestas AB,AD,AE ao longo dos eixos x,y,z respectivamente, todas de comprimento 6. Isso facilita contas com vetores e planos.
O ponto pedido P é o ponto médio de F G. Como F=(6,0,6) e G=(6,6,6), o ponto médio é
P=\bigl(6,\tfrac{0+6}{2},6\bigr)=(6,3,6).

Passo 3

Achar a equação do plano que contém A=(0,0,0), C=(6,6,0) e P=(6,3,6).
Como o plano passa por A (origem), sua equação pode ser escrita na forma
ax+by+cz=0.
Substituindo C e P obtemos o sistema
6a+6b+0\cdot c=0,\qquad 6a+3b+6c=0.
Da primeira equação sai a=-b. Substituindo na segunda:
6(-b)+3b+6c=0 \implies -3b+6c=0 \implies c=\tfrac{b}{2}.
Tomando b=2 para ficar sem frações obtemos um normal n=(-2,2,1). Assim uma equação conveniente do plano é
-2x+2y+z=0,
ou equivalente em forma explícita
\boxed{z=2(x-y).}
Explicação didática rápida: escolhemos a,b,c para satisfazer as duas condições (inserir coordenadas de C e P). Como o plano passa pela origem, a constante do lado direito é zero.

Passo 4

Agora vamos intersectar esse plano com as faces do cubo (0 ≤ x,y,z ≤ 6) para achar a seção. Analisamos face por face (procedimento sistemático):
  1. Face inferior z=0. Na equação do plano temos 0=2(x-y), logo x=y. Dentro do quadrado 0\le x,y\le6 isso é a diagonal do quadrado inferior, isto é, o segmento de A=(0,0,0) até C=(6,6,0). Portanto a interseção com a face z=0 é o segmento AC.
  2. Face superior z=6. Substituindo z=6 em z=2(x-y) 6=2(x-y), logo x-y=3 ou y=x-3. Nas restrições 0\le x,y\le6 essa reta corta a face superior entre os pontos em que ela encontra as arestas da face:
  • interseção com a aresta y=0 (aresta E F): pôr y=0 x=3, ponto Q=(3,0,6).
  • interseção com a aresta x=6 (aresta F G): pôr x=6 y=3, ponto P=(6,3,6) (já identificado).
Portanto a interseção com a face z=6 é o segmento que liga Q=(3,0,6) a P=(6,3,6). Observação: Q é o ponto médio de E F (porque E=(0,0,6) e F=(6,0,6), e o ponto médio é (3,0,6)).
  1. Face y=0. Substituindo y=0 na equação z=2(x-y) z=2x. Dentro do retângulo 0\le x\le6,\\\ 0\le z\le6 temos z=2x\le6\Rightarrow x\le3. Assim a interseção é o segmento que vai de A=(0,0,0) até Q=(3,0,6). (Já encontrado via faces z=0 e z=6.)
  2. Face x=6. Substituindo x=6 obtemos z=2(6-y)=12-2y. Para 0\le y\le6 temos z entre 12 e 0; dentro do cubo z\le6 pede 12-2y\le6\Rightarrow y\ge3. Logo a interseção nessa face é o segmento de C=(6,6,0) até P=(6,3,6). (Também já detectado.)
  3. Faces x=0 e y=6 não trazem interseções novas além de vértices já listados (na face x=0 só ocorre A; na face y=6 só ocorre C).
Conclusão desta análise: a seção pelo plano é um quadrilátero convexo cujos vértices, percorrendo a fronteira do cubo, são
A=(0,0,0),\quad C=(6,6,0),\quad P=(6,3,6),\quad Q=(3,0,6).

Passo 5

Organização do polígono e verificação das propriedades geométricas básicas.
Ordenando os vértices ao longo da seção obtemos o quadrilátero cíclico (no sentido do contorno do polígono sobre a superfície do cubo):
A\longrightarrow C\longrightarrow P\longrightarrow Q\longrightarrow A.
Agora vamos estudar paralelismos e comprimentos para classificar o quadrilátero.
  • Vetor \overrightarrow{AC}=C-A=(6,6,0).
  • Vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P=(3,0,6)-(6,3,6)=(-3,-3,0), mas note que \overrightarrow{QP}=P-Q=(3,3,0).
Observação: \overrightarrow{AC}=(6,6,0) é paralelo a \overrightarrow{QP}=(3,3,0) (são múltiplos). Assim AC\parallel PQ. Logo há pelo menos um par de lados paralelos → o quadrilátero é trapezoide (trapézio).
  • Agora calculemos os comprimentos das arestas do quadrilátero:
Comprimentos (usando norma euclidiana):
\begin{aligned} |AC|&=\sqrt{6^2+6^2+0^2}=6\sqrt{2},\\[4pt] |PQ|&=\sqrt{3^2+3^2+0^2}=3\sqrt{2},\\[4pt] |QA|&=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{9+0+36}=3\sqrt{5},\\[4pt] |CP|&=\sqrt{(6-6)^2+(3-6)^2+(6-0)^2}=\sqrt{0+9+36}=3\sqrt{5}. \end{aligned}
Perceba que as “pernas” do trapézio QA e CP têm o mesmo comprimento 3\sqrt{5}. Portanto o trapézio é isósceles (lados não paralelos são congruentes).
Resumo desta verificação: o quadrilátero A C P Q tem um par de lados paralelos AC\parallel PQ e os outros dois lados iguais ( |QA|=|CP|), logo é um trapézio isósceles.]

Passo 6

Cálculo da área da seção (útil para uma descrição completa). Uma maneira prática é dividir o quadrilátero em dois triângulos por uma diagonal e somar as áreas. Vou dividir pela diagonal A P. Em 3D a área de um triângulo com vértices U,V,W é
\text{Área}_{UVW}=\tfrac{1}{2}\,\bigl\|(\overrightarrow{V U})\times(\overrightarrow{W U})\bigr\|,Á
onde \times é o produto vetorial e \|\cdot\| a norma do vetor resultante. Isso mede a área do paralelogramo gerado por dois vetores; metade dá a área do triângulo.
Calculemos:
\overrightarrow{AC}=(6,6,0),\qquad \overrightarrow{AP}=(6,3,6).
O produto vetorial
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AP}=(6,6,0)\times(6,3,6)=(36,-36,-18).
A norma é \|(36,-36,-18)\|=\sqrt{36^2+(-36)^2+(-18)^2}=\sqrt{2916}=54. Assim
\text{Área}_{\triangle ACP}=\tfrac{1}{2}\cdot54=27.Á
Agora o outro triângulo:
\overrightarrow{AP}=(6,3,6),\qquad \overrightarrow{AQ}=(3,0,6).
Produto vetorial
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AQ}=(6,3,6)\times(3,0,6)=(18,-18,-9),
com norma \sqrt{18^2+(-18)^2+(-9)^2}=\sqrt{729}=27. Logo
\text{Área}_{\triangle APQ}=\tfrac{1}{2}\cdot27=13{,}5.Á
Somando:
\text{Área}_{\text{seção}}=27+13{,}5=40{,}5=\tfrac{81}{2}.Áçã
Alternativamente, usando fórmula do trapézio: bases b_1=|AC|=6\sqrt{2}, b_2=|PQ|=3\sqrt{2}. A altura do trapézio (distância entre as retas paralelas no plano) pode ser obtida de
\text{Área}=\frac{b_1+b_2}{2}\cdot h \implies h=\frac{2\cdot\text{Área}}{b_1+b_2}=\frac{81}{(9\sqrt{2}/2)}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2},ÁÁ
o que confirma coerência numérica com a área encontrada antes.

Passo 7

Interpretação final e observações (de prova):
  • A seção do cubo pelo plano que passa por A,C e pelo ponto médio de FG é um quadrilátero convexo com vértices
A=(0,0,0),\quad C=(6,6,0),\quad P=(6,3,6),\quad Q=(3,0,6),
onde Q é o ponto médio de EF e P é o ponto médio de FG.
  • Esse quadrilátero é um trapézio isósceles: AC\parallel PQ e |QA|=|CP|=3\sqrt{5}.
  • As medidas principais são:
|AC|=6\sqrt{2},\qquad |PQ|=3\sqrt{2},\qquad |QA|=|CP|=3\sqrt{5},
e a área da seção é \tfrac{81}{2}=40{,}5.

Resposta

A seção é o quadrilátero convexo com vértices A=(0,0,0), C=(6,6,0), P=(6,3,6) e Q=(3,0,6) (sendo Q o ponto médio de EF).
Trata-se de um trapézio isósceles com bases AC\parallel PQ, |AC|=6\sqrt{2}, |PQ|=3\sqrt{2}, pernas |QA|=|CP|=3\sqrt{5} e área \dfrac{81}{2}.

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