1-Considere uma pirâmide quadrangular V-ABCD. Sejam M,n e P pontos das arestas laterais VA, VB, VC, respectivamente. O plano determinado M,N, P corta a aresta VD em um ponto Q. Diga como Q pode ser obtido a partir de M, N e P.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular V\text{-}ABCD. Nos dizem que M, N e P são pontos pertencentes às arestas laterais VA, VB e VC, respectivamente. O plano determinado por M,N,P corta a aresta lateral VD em um ponto Q.
O que se pede: descrever explicitamente como obter o ponto Q a partir dos pontos M,N,P (ou seja, dar uma construção/expressão que determine a posição de Q sobre VD conhecendo M,N,P).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • M\in VA, N\in VB, P\in VC.
  • O plano que passa por M,N,P intercepta VD em Q.
  • A base ABCD é quadrada (portanto é um paralelogramo em particular).

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar coordenadas afins (ou vetoriais) com origem em V. Isso é prático para expressar pontos que dividem arestas por frações e para escrever a condição de que um ponto de VD pertence ao plano gerado por M,N,P. Vou explicar cada conceito à medida que uso.
Definição de parâmetros (faça isto na prova; é simples de medir):
  • Seja \displaystyle \alpha=\frac{VM}{VA}. Isto significa que M divide o segmento VA na razão \alpha medida a partir de V: quando \alpha=0 estamos em V e quando \alpha=1 estamos em A.
  • Seja \displaystyle \beta=\frac{VN}{VB}.
  • Seja \displaystyle \gamma=\frac{VP}{VC}.
Esses três números \alpha,\beta,\gamma estão entre 0 e 1 se os pontos M,N,P estiverem interiormente às arestas (mas a fórmula abaixo vale mesmo se forem fora, com sinais).
Explicação didática rápida: representar um ponto X sobre o segmento VX\_vertex por um parâmetro \mu significa escrever o vetor posição de X (com origem em V) como \vec{VX} = \mu\,\vec{V(\text{vertice})}. É um uso natural de coordenadas afins: M está em VA então \overrightarrow{VM}=\alpha\overrightarrow{VA}.

Passo 3

Escolha de vetores e relação útil da base quadrada:
  • Coloco a origem no vértice V. Denoto por \vec{a}=\overrightarrow{VA}, \vec{b}=\overrightarrow{VB}, \vec{c}=\overrightarrow{VC}, \vec{d}=\overrightarrow{VD}.
  • Então, por construção dos parâmetros: \overrightarrow{VM}=\alpha\vec{a},\qquad \overrightarrow{VN}=\beta\vec{b},\qquad \overrightarrow{VP}=\gamma\vec{c}.
  • Como ABCD é um paralelogramo (no caso, quadrado), vale a relação vetorial típica dos paralelogramos entre os vértices da base: \vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}.Reescrevendo para \vec{d}: \vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.(Isto é só a expressão de D como combinação afim de A,B,C.)
Comentário didático: essa relação é fácil de ver desenhando o quadrado ou lembrando que as diagonais e as somas de vetores em um paralelogramo satisfazem \vec{A}+\vec{C}=\vec{B}+\vec{D}.

Passo 4

Escrever a condição de coplanaridade (o que significa que Q pertence ao plano determinado por M,N,P).
  • Um ponto qualquer X do plano (MNP) pode ser escrito como combinação afim de M,N,P: X = \lambda_1 M + \lambda_2 N + \lambda_3 P,\qquad \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1.Em vetores com origem em V isso dá \overrightarrow{VX}=\lambda_1\overrightarrow{VM}+\lambda_2\overrightarrow{VN}+\lambda_3\overrightarrow{VP}.
  • Em particular, o ponto Q está sobre a aresta VD, logo tem forma \overrightarrow{VQ}=t\,\vec{d}para algum escalar t (este t é justamente a fração VQ/VD). A nossa tarefa é encontrar t em função de \alpha,\beta,\gamma.

Passo 5

Substituir tudo e montar as equações. Usando as expressões anteriores:
t\vec{d} = \lambda_1(\alpha\vec{a}) + \lambda_2(\beta\vec{b}) + \lambda_3(\gamma\vec{c}), \qquad \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1.
Como da Passo 3 temos \vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\), substituo: \[t(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = \lambda_1\alpha\vec{a} + \lambda_2\beta\vec{b} + \lambda_3\gamma\vec{c}.
Agora compare coeficientes das três direções \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Isso fornece o sistema
\begin{cases} t = \lambda_1\alpha,\\[4pt] -\,t = \lambda_2\beta,\\[4pt] t = \lambda_3\gamma. \end{cases}
(Explicação: comparando as componentes em direção \vec{a}\] obtemos \(t = \lambda_1\alpha, em direção \vec{b} obtemos -t = \lambda_2\beta, e em direção \vec{c} obtemos t = \lambda_3\gamma.)]

Passo 6

Usar a condição \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 para eliminar as \lambda e achar t. Das igualdades do passo anterior:
\lambda_1=\frac{t}{\alpha},\qquad \lambda_2=-\frac{t}{\beta},\qquad \lambda_3=\frac{t}{\gamma}.
Somando e impondo \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1
\frac{t}{\alpha}-\frac{t}{\beta}+\frac{t}{\gamma}=1.
Fatorando t:
t\!\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)=1.
Portanto
\boxed{\,t=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}}\,.}
Interpretação imediata: o ponto Q é o ponto de VD tal que
\overrightarrow{VQ}=t\,\overrightarrow{VD},
onde t é dado pela expressão acima.

Passo 7

Como usar isso numa prova ou construção prática (passo a passo construtivo):
  1. Meça (ou calcule) \alpha=\dfrac{VM}{VA}, \beta=\dfrac{VN}{VB} e \gamma=\dfrac{VP}{VC}. (Isto é só dividir comprimentos ao longo de cada aresta lateral.)
  2. Calcule
t=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}}.
  1. Sobre o segmento VD, marque o ponto Q de modo que
VQ=t\cdot VD.
Geométrica e intuitivamente: a fórmula dá a fração do segmento VD a partir de V. Se t está entre 0 e 1, Q fica no segmento VD; se t>1 ou t<0, a interseção é além de D ou além de V (caso degenerado).
Exemplo numérico pequeno (para ter sensação): se \alpha=\beta=\gamma=\tfrac12 então
t=\frac{1}{2-2+2}=\frac{1}{2} .
Então Q é o ponto médio de VD nesse caso simples.

Passo 8

Observações finais e casos especiais:
  • A fórmula usa explicitamente que a base é paralelogramo (aqui quadrado) através da relação \vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}. Para uma base qualquer (não-paralelogramo) obter-se-ia uma fórmula análoga mas com coeficientes (p,q,r) que expressam \vec{d} como combinação afim de \vec{a},\vec{b},\vec{c}; a dedução é a mesma e leva à fórmula geral t=\dfrac{1}{\dfrac{p}{\alpha}+\dfrac{q}{\beta}+\dfrac{r}{\gamma}},quando \vec{d}=p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c} e p+q+r=1.
  • Se o denominador \dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma} for 0, o plano MNP é paralelo a VD (ou a intersecção dá Q no infinito); aí não há interseção finita sobre VD.
Força aí — se quiser eu faço um desenho passo a passo mostrando a construção geométrica com um exemplo numérico. 😃

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{VQ}=t\,\overrightarrow{VD}\quad\text{com}\quad t=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}},
onde \alpha=\dfrac{VM}{VA}, \beta=\dfrac{VN}{VB} e \gamma=\dfrac{VP}{VC}.

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