Seja A B C D E F G H um paralelepípedo tal que A B=A D=A E=6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos ( \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P} ) abaixo:
\mathrm{M}= ponto médio de \mathrm{AE}, \mathrm{N}= ponto médio de \mathrm{BC}, \mathrm{P}= ponto médio de GH .

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei as informações do enunciado): os pontos A,B,C,D,E,F,G,H formam um paralelepípedo tal que \,AB=AD=AE=6.
  • Pontos pedidos (definições do enunciado): M é o ponto médio de AE; N é o ponto médio de BC; P é o ponto médio de GH.
  • O que o enunciado pede: estudar a seção determinada por o plano que passa por M,N,P. Ou seja, descrever a interseção desse plano com o paralelepípedo: que polígono aparece, quais são seus vértices, propriedades (forma, comprimentos, centro, etc.).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas para trabalhar de forma concreta (isso simplifica muito a resolução). Vou assumir a disposição usual dos vértices de um cubo/paralelepípedo reto (interpretação padrão quando os três arestas adjacentes têm igual comprimento): tomo A na origem e eixos alinhados com as arestas. Assim atribuo coordenadas:
A=(0,0,0),\quad B=(6,0,0),\quad C=(6,6,0),\quad D=(0,6,0),
E=(0,0,6),\quad F=(6,0,6),\quad G=(6,6,6),\quad H=(0,6,6).
Explicação curta: como AB=AD=AE=6 e adotamos o paralelepípedo reto (o caso mais comum em aulas/provas), cada aresta adjacente a A tem comprimento 6 e alinhamos cada uma a um eixo coordenado.
Com essas coordenadas, calculo as coordenadas dos pontos médios pedidos:
M=\text{médio de }AE=\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(0,0,3),é
N=\text{médio de }BC=\left(\frac{6+6}{2},\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(6,3,0),é
P=\text{médio de }GH=\left(\frac{6+0}{2},\frac{6+6}{2},\frac{6+6}{2}\right)=(3,6,6).é

Passo 3

Achar a equação do plano que passa por M,N,P. Estratégia: obter um vetor normal ao plano a partir do produto vetorial de dois vetores do plano.
Formo dois vetores no plano:
\overrightarrow{MN}=N-M=(6,3,0)-(0,0,3)=(6,3,-3),
\overrightarrow{MP}=P-M=(3,6,6)-(0,0,3)=(3,6,3).
Vou explicar o porquê do produto vetorial: dado dois vetores \vec u,\vec v não colineares, o produto vetorial \vec u\times\vec v é um vetor perpendicular a ambos; assim é um normal ao plano gerado por \vec u,\vec v.
Calculo o produto vetorial:
\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 6 & 3 & -3 \\\\ 3 & 6 & 3 \end{vmatrix} = (3\cdot3-(-3)\cdot6)\,\mathbf{i} - (6\cdot3-(-3)\cdot3)\,\mathbf{j} + (6\cdot6-3\cdot3)\,\mathbf{k}.
Isso dá
(9+18,\, -(18+9),\, (36-9))=(27,-27,27)=27(1,-1,1).
Assim um vetor normal ao plano é \vec n=(1,-1,1).
Equação do plano usando ponto M: \vec n\cdot (x,y,z-M)=0. Escrevendo:
1\cdot(x-0)+(-1)\cdot(y-0)+1\cdot(z-3)=0.
Logo a equação explícita do plano é
x - y + z = 3.
Verificação rápida: para N e P tem-se 6-3+0=3 e 3-6+6=3, ok.

Passo 4

Determinar a interseção desse plano com as faces do cubo (as faces estão nas equações x=0,x=6,y=0,y=6,z=0,z=6). Em cada face resolvo o sistema do plano com a equação da face e vejo se o ponto obtido fica dentro do quadrado da face ( 0\le coordenadas \le6).
  1. Interseção com a face x=0: substituo x=0 em x-y+z=3 e obtenho z=3+y. Para 0\le y\le6 e 0\le z\le6 isso exige 0\le y\le3. Assim há um segmento na face entre:
y=0\Rightarrow(0,0,3)=M,\qquad y=3\Rightarrow(0,3,6).
Chamemos Q_1=(0,3,6) (que é o ponto médio de EH).
  1. Face x=6: 6-y+z=3\Rightarrow z=y-3. Para 0\le y\le6 e 0\le z\le6 temos 3\le y\le6. Os extremos são
y=3\Rightarrow(6,3,0)=N,\qquad y=6\Rightarrow(6,6,3).
Chamemos Q_2=(6,6,3) (é ponto médio de CG).
  1. Face y=0: x+z=3\Rightarrow z=3-x. Para 0\le x\le6 e 0\le z\le6 temos 0\le x\le3. Extremos:
x=0\Rightarrow(0,0,3)=M,\qquad x=3\Rightarrow(3,0,0).
Chamemos Q_3=(3,0,0) (médio de AB).
  1. Face y=6: x-6+z=3\Rightarrow z=9-x. Para 0\le x\le6 e 0\le z\le6 temos 3\le x\le6. Extremos:
x=3\Rightarrow(3,6,6)=P,\qquad x=6\Rightarrow(6,6,3)=Q_2.
  1. Face z=0: x-y=3. Para 0\le x,y\le6 os pontos extremos neste segmento são
(x,y)=(3,0)\Rightarrow(3,0,0)=Q_3,\qquad (6,3)\Rightarrow(6,3,0)=N.
  1. Face z=6: x-y+6=3\Rightarrow x-y=-3\Rightarrow y=x+3. Para 0\le x\le6 isto dá 0\le x\le3. Extremos:
x=0\Rightarrow(0,3,6)=Q_1,\qquad x=3\Rightarrow(3,6,6)=P.
Conclusão deste passo: o plano intersecta o cubo formando um polígono com os seis pontos
Q_3=(3,0,0),\quad N=(6,3,0),\quad Q_2=(6,6,3),\quad P=(3,6,6),\quad Q_1=(0,3,6),\quad M=(0,0,3).
Ou seja, a interseção é um hexágono cujos vértices, em ordem cíclica, são esses seis pontos (pode-se ordenar começando em qualquer vértice).

Passo 5

Mostro propriedades desse hexágono: comprimentos dos lados, centro e regularidade.
  1. Comprimento de um lado (por exemplo entre Q_3=(3,0,0) e N=(6,3,0)). O vetor entre eles é (3,3,0), então o comprimento é
\sqrt{3^2+3^2+0^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Entre N=(6,3,0) e Q_2=(6,6,3) o vetor é (0,3,3) e o comprimento também é \sqrt{18}=3\sqrt{2}. Fazendo essa conta para os demais lados obtém-se sempre 3\sqrt{2}. Logo todos os lados têm a mesma medida 3\sqrt{2}.
  1. Centro do hexágono: o centro do cubo é (3,3,3). Verifico que esse ponto pertence ao plano:
3-3+3=3,
logo o centro do cubo está no plano e, por simetria, é centro do hexágono de seção. Calculo a distância do centro a um vértice, por exemplo a Q_3:
\text{vetor }(Q_3-(3,3,3))=(0,-3,-3),\quad \text{distância }=\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.â
Portanto todas as distâncias do centro aos vértices são iguais (as outras ficam óbvias por simetria), ou seja, todos os seis vértices estão na mesma circunferência centrada em (3,3,3) de raio 3\sqrt{2}.
  1. Comentário sobre regularidade: num polígono convexo com seis vértices, se todos os vértices estão sobre uma circunferência (mesma distância ao centro) e todos os lados têm o mesmo comprimento, isso caracteriza um hexágono regular. Aqui demonstramos ambos: todos os seis vértices têm a mesma distância ao centro e todos os seis lados têm o mesmo comprimento, logo o hexágono é regular.
  2. (Opcional, mas útil) Área do hexágono regular de lado s=3\sqrt{2}: a fórmula da área de um hexágono regular é \displaystyle A=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2. Substituindo s^2=18 obtém-se
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 18=27\sqrt{3}.

Passo 6

Resumo geométrico e interpretação final (para usar na prova): o plano que passa pelos pontos médios M,N,P corta o cubo produzindo um hexágono convexo simétrico em torno do centro do cubo. Os vértices desse hexágono são precisamente os pontos médios de seis arestas do cubo (os que aparecem na lista do Passo 4), os seis lados são iguais e o hexágono é regular.

Resposta

A seção é um hexágono regular cujos vértices, em coordenadas, são
(3,0,0),(6,3,0),(6,6,3),(3,6,6),(0,3,6),(0,0,3).
O lado do hexágono mede 3\sqrt{2} e sua área é 27\sqrt{3}.

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