Seja B \subset \mathbb{R}^{3} um compacto cuja fronteira tem interior nulo. Suponha que B tem a forma de um sólido cuja densidade dada por uma função contínua \delta(x, y, z),(x, y, z) \in B. O momento de inércia deste sólido com relação a um eixo \ell é dado por
I=\iiint_{B} r^{2}(x, y, z) \delta(x, y, z) d V
em que r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo \ell. Calcule os seguintes momentos de inércia nas seguintes situações
(c) B é um cubo de lado a , \ell contém uma das arestas de B e \delta(\mathrm{x}, \mathrm{y}, z)=\delta_{0} constante;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia do sólido B nas seguintes condições:
  • B é um cubo de lado a.
  • O eixo \ell contém uma das arestas de B.
  • A densidade é constante: \delta(x,y,z)=\delta_0.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula geral do momento de inércia é
I=\iiint_{B} r^{2}(x,y,z)\,\delta(x,y,z)\,dV,
onde r(x,y,z) é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo \ell.
  • Aqui \delta(x,y,z)=\delta_0 é constante e o volume de B é a^{3}.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas conveniente facilita muito. Coloco a aresta que pertence a \ell no eixo x: tomo o vértice do cubo na origem e a aresta em questão ao longo do eixo x de x=0 a x=a. Assim o cubo é o conjunto
B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le a,\\\ 0\le y\le a,\\\ 0\le z\le a\},
e o eixo \ell é a reta \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} que contém a aresta (0,0,0)\text{–}(a,0,0).

Passo 3

Para um ponto (x,y,z) do cubo, a distância perpendicular ao eixo \ell (eixo x em nossa escolha) é a distância ao eixo x, dada por
r(x,y,z)=\sqrt{y^{2}+z^{2}}.
Logo r^{2}(x,y,z)=y^{2}+z^{2}.
Substituindo na fórmula do momento de inércia e usando \delta=\delta_0 constante:
I=\iiint_{B} (y^{2}+z^{2})\,\delta_{0}\,dV =\delta_{0}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz.

Passo 4

A integração em x é imediata porque o integrando não depende de x. Integrando em x de 0 a a aparece um fator a:
I=\delta_{0}\,a\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (y^{2}+z^{2})\,dy\,dz.

Passo 5

Separe a dupla integral em duas parcelas e calcule cada uma:
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (y^{2}+z^{2})\,dy\,dz =\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} y^{2}\,dy\,dz+\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} z^{2}\,dy\,dz.
Calcule a primeira:
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} y^{2}\,dy\,dz =\int_{0}^{a}\bigg(\int_{0}^{a} y^{2}\,dy\bigg)dz =\int_{0}^{a} \frac{a^{3}}{3}\,dz = a\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{a^{4}}{3}.
A segunda parcela é idêntica por simetria (só troca y por z):
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} z^{2}\,dy\,dz=\frac{a^{4}}{3}.

Passo 6

Somando as parcelas:
\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (y^{2}+z^{2})\,dy\,dz=\frac{a^{4}}{3}+\frac{a^{4}}{3}=\frac{2a^{4}}{3}.
Portanto
I=\delta_{0}\,a\cdot\frac{2a^{4}}{3}=\frac{2}{3}\,\delta_{0}\,a^{5}.

Passo 7

É comum também expressar o resultado em função da massa total M do cubo. Como \delta_{0} é constante,
M=\delta_{0}\cdot\text{vol}(B)=\delta_{0}\,a^{3}.
Substituindo em I obtemos a forma
I=\frac{2}{3}M a^{2}.
Força final: está feito — deu para ver que o fator adimensional é 2/3 e a dependência em a é a^{2} quando escrita em função da massa, o que faz sentido fisicamente (unidade de momento de inércia).

Resposta

\displaystyle I=\frac{2}{3}\,\delta_{0}\,a^{5}
\displaystyle I=\frac{2}{3}\,M\,a^{2}

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