Seja
um compacto cuja fronteira tem interior nulo. Suponha que
tem a forma de um sólido cuja densidade dada por uma função contínua
. O momento de inércia deste sólido com relação a um eixo
é dado por
em que
é a distância do ponto
ao eixo
. Calcule os seguintes momentos de inércia nas seguintes situações
(c) B é um cubo de lado a ,
contém uma das arestas de B e
constante;
(c) B é um cubo de lado a ,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia do sólido
nas seguintes condições:
-
é um cubo de lado . - O eixo
contém uma das arestas de . - A densidade é constante:
.
Informações relevantes dadas:
- A fórmula geral do momento de inércia é
onde
é a distância do ponto
ao eixo
.
- Aqui
é constante e o volume de é .
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas conveniente facilita muito. Coloco a aresta que pertence a
no eixo
: tomo o vértice do cubo na origem e a aresta em questão ao longo do eixo
de
a
. Assim o cubo é o conjunto
e o eixo
é a reta
que contém a aresta
.
Passo 3
Para um ponto
do cubo, a distância perpendicular ao eixo
(eixo
em nossa escolha) é a distância ao eixo
, dada por
Logo
.
Substituindo na fórmula do momento de inércia e usando
constante:
Passo 4
A integração em
é imediata porque o integrando não depende de
. Integrando em
de
a
aparece um fator
:
Passo 5
Separe a dupla integral em duas parcelas e calcule cada uma:
Calcule a primeira:
A segunda parcela é idêntica por simetria (só troca
por
):
Passo 6
Somando as parcelas:
Portanto
Passo 7
É comum também expressar o resultado em função da massa total
do cubo. Como
é constante,
Substituindo em
obtemos a forma
Força final: está feito — deu para ver que o fator adimensional é
e a dependência em
é
quando escrita em função da massa, o que faz sentido fisicamente (unidade de momento de inércia).