Seja B \subset \mathbb{R}^{3} um compacto cuja fronteira tem interior nulo. Suponha que B tem a forma de um sólido cuja densidade dada por uma função contínua \delta(x, y, z),(x, y, z) \in B. O momento de inércia deste sólido com relação a um eixo \ell é dado por
I=\iiint_{B} r^{2}(x, y, z) \delta(x, y, z) d V
em que r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo \ell. Calcule os seguintes momentos de inércia nas seguintes situações
(a) B é uma bola fechada de raio R, \ell é um eixo que passa pelo cento de B e \delta(x, y, z)=\delta_{0} constante;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia
I=\iiint_{B} r^{2}(x,y,z)\,\delta(x,y,z)\,dV
quando:
B é a bola fechada de raio R (centro na origem);
o eixo \ell passa pelo centro da bola;
a densidade é constante: \delta(x,y,z)=\delta_{0}.
Informações úteis dadas:
raio da bola: R;
densidade uniforme: \delta_{0};
a distância de um ponto (x,y,z) ao eixo \ell será chamada simplesmente de distância radial ao eixo (denotada abaixo por \rho).
O que se pede: calcular I (em função de \delta_{0} e R), e também é útil expressar o resultado em termos da massa total M do sólido.
Passo 2
Escolher coordenadas e explicá-las. Pela simetria circular em torno do eixo é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z) relativas ao eixo \ell (que tomaremos como o eixo z sem perda de generalidade):
\rho é a distância do ponto ao eixo \ell (ou seja, \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}});
\theta é o ângulo azimutal em torno do eixo;
z é a coordenada ao longo do eixo.
No sistema cilíndrico o elemento de volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Aqui a função r(x,y,z) do enunciado coincide com \rho.
Passo 3
Escrever a integral do momento de inércia em cilíndricas usando que \delta=\delta_{0} e r=\rho: