Seja B \subset \mathbb{R}^{3} um compacto cuja fronteira tem interior nulo. Suponha que B tem a forma de um sólido cuja densidade dada por uma função contínua \delta(x, y, z),(x, y, z) \in B. O momento de inércia deste sólido com relação a um eixo \ell é dado por
I=\iiint_{B} r^{2}(x, y, z) \delta(x, y, z) d V
em que r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo \ell. Calcule os seguintes momentos de inércia nas seguintes situações
(a) B é uma bola fechada de raio R, \ell é um eixo que passa pelo cento de B e \delta(x, y, z)=\delta_{0} constante;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia
I=\iiint_{B} r^{2}(x,y,z)\,\delta(x,y,z)\,dV
quando:
  • B é a bola fechada de raio R (centro na origem);
  • o eixo \ell passa pelo centro da bola;
  • a densidade é constante: \delta(x,y,z)=\delta_{0}.
Informações úteis dadas:
  • raio da bola: R;
  • densidade uniforme: \delta_{0};
  • a distância de um ponto (x,y,z) ao eixo \ell será chamada simplesmente de distância radial ao eixo (denotada abaixo por \rho).
O que se pede: calcular I (em função de \delta_{0} e R), e também é útil expressar o resultado em termos da massa total M do sólido.

Passo 2

Escolher coordenadas e explicá-las. Pela simetria circular em torno do eixo é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z) relativas ao eixo \ell (que tomaremos como o eixo z sem perda de generalidade):
  • \rho é a distância do ponto ao eixo \ell (ou seja, \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}});
  • \theta é o ângulo azimutal em torno do eixo;
  • z é a coordenada ao longo do eixo.
    No sistema cilíndrico o elemento de volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Aqui a função r(x,y,z) do enunciado coincide com \rho.

Passo 3

Escrever a integral do momento de inércia em cilíndricas usando que \delta=\delta_{0} e r=\rho:
I=\iiint_{B} \rho^{2}\,\delta_{0}\,dV =\delta_{0}\iiint_{B}\rho^{2}\,(\rho\,d\rho\,d\theta\,dz) =\delta_{0}\iiint_{B}\rho^{3}\,d\rho\,d\theta\,dz.

Passo 4

Determinar os limites de integração para a bola de raio R. Em cilíndricas a região B é dada por
-\,R\le z\le R,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le\rho\le\sqrt{R^{2}-z^{2}}.
Portanto
I=\delta_{0}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-R}^{R}\int_{\rho=0}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}\rho^{3}\,d\rho\,dz\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em \rho. Para \rho-integrais:
\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}\rho^{3}\,d\rho =\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}} =\frac{(R^{2}-z^{2})^{2}}{4}.
Assim
I=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{-R}^{R}\frac{(R^{2}-z^{2})^{2}}{4}\,dz\,d\theta.

Passo 6

Fazer a integral em \theta (é trivial) e simplificar o fator constante:
I=\delta_{0}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{4}\int_{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})^{2}\,dz =\frac{\pi\delta_{0}}{2}\int_{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})^{2}\,dz.

Passo 7

Expandir o integrando e calcular a integral em z. Expandindo:
(R^{2}-z^{2})^{2}=R^{4}-2R^{2}z^{2}+z^{4}.
Como a função é par, integrando de -R a R dá duas vezes a integral de 0 a R. Calcular cada termo:
\int_{-R}^{R}R^{4}\,dz = 2R^{5},
\int_{-R}^{R}(-2R^{2}z^{2})\,dz = -2R^{2}\cdot 2\frac{R^{3}}{3} = -\frac{4}{3}R^{5},
\int_{-R}^{R}z^{4}\,dz = 2\frac{R^{5}}{5} = \frac{2}{5}R^{5}.
Somando:
\int_{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})^{2}\,dz =2R^{5}-\frac{4}{3}R^{5}+\frac{2}{5}R^{5} =\left(\frac{30-20+6}{15}\right)R^{5} =\frac{16}{15}R^{5}.

Passo 8

Substituir esse resultado em I:
I=\frac{\pi\delta_{0}}{2}\cdot\frac{16}{15}R^{5} =\frac{8\pi\delta_{0}}{15}R^{5}.
Essa é a expressão do momento de inércia em função de \delta_{0} e R.

Passo 9

Expressar I em função da massa total M. A massa total do sólido é
M=\iiint_{B}\delta_{0}\,dV=\delta_{0}\cdot\text{Vol}(B) =\delta_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Assim \delta_{0}=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}. Substituindo em I:
I=\frac{8\pi}{15}R^{5}\cdot\delta_{0} =\frac{8\pi}{15}R^{5}\cdot\frac{3M}{4\pi R^{3}} =\frac{2}{5}MR^{2}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{8\pi\delta_{0}}{15}R^{5}\n \displaystyle I=\frac{2}{5}MR^{2}

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