Considere uma placa delimitada pela elipse
. Seccionando-se a placa segundo
segmento que liga o ponto
ao ponto
, pede-se o centróide (centro de massa) de cada porção seccionada da placa.
Passo 1
O enunciado dá uma placa homogênea delimitada pela elipse
, com
. A placa é seccionada pelo segmento que liga os pontos
e
. Pede-se o centróide (centro de massa, densidade uniforme) de cada uma das duas porções resultantes da seção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação da elipse:
. - Pontos que ligam o segmento de corte:
e . - Equação da reta que passa por esses pontos:
(porque a inclinação é e passa por ). - Devemos determinar o centróide de cada porção (duas porções): a porção limitada entre o arco da elipse no 1.º quadrante e o segmento (vou chamar de porção “cap” ou “setor superior”), e a porção complementar (o “resto” da elipse).
O plano de ação será calcular, para a porção do primeiro quadrante entre a curva elíptica superior
e a reta
, a área e os primeiros momentos; daí obtemos o centróide dessa porção. O centróide da porção complementar será obtido usando o centróide da elipse inteira (que é a origem) e a conservação do momento.
Passo 2
Relembrando as fórmulas de integração para centróide de uma lâmina de densidade uniforme (densidade
constante, aqui
por simplicidade):
- Se uma região é dada por
para , a área é
- Primeiro momento em relação ao eixo
(usado para obter ):
- Primeiro momento em relação ao eixo
(usado para obter ):
Vou aplicar essas fórmulas à porção do 1.º quadrante entre
e
, com
Para facilitar as integrais, farei a substituição trigonométrica
pois então
e
.
Passo 3
Calcular a área da porção (a “cap” no 1.º quadrante).
Usando a substituição,
Expande-se o integrando:
logo
Agora integramos termo a termo (mostrando as integrais):
(Já usei que
.)
Portanto
Observação útil: a área total da elipse é
. A porção complementar (o “resto”) terá área
Passo 4
Calcular
da porção “cap”.
O momento
. Com a substituição
,
,
Expandindo os fatores obtemos as três integrais:
Calculamos cada uma com substituições simples:
- Para
, use , , daí
- Já
(já calculado). - E
, usando , , dá
Assim o conjunto fornece
Portanto
Logo
Passo 5
Calcular
da porção “cap”.
O momento
. Substituindo,
Simplificando o integrando:
Logo
Já calculamos integrais semelhantes: com
temos
Portanto
Assim
Finalmente
Passo 6
Resumo do centróide da porção “cap” (aquela entre o arco da elipse no 1.º quadrante e o segmento):
Note a simetria: as coordenadas são proporcionais a
e
com o mesmo coeficiente.
Passo 7
Agora obtemos o centróide da porção complementar (o “resto” da elipse). Usamos que o centróide da elipse inteira é a origem
(pela simetria da elipse). A conservação de momento total dá:
Logo
Calculamos a razão
Multiplicando pela coordenada do cap que já tinha
aparece cancelamento de
, obtendo-se