Considere uma placa delimitada pela elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a, b>0. Seccionando-se a placa segundo o segmento que liga o ponto (0, b) ao ponto (a, 0), pede-se o centróide (centro de massa) de cada porção seccionada da placa.

Passo 1

O enunciado dá uma placa homogênea delimitada pela elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, com a,b>0. A placa é seccionada pelo segmento que liga os pontos (0,b) e (a,0). Pede-se o centróide (centro de massa, densidade uniforme) de cada uma das duas porções resultantes da seção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação da elipse: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Pontos que ligam o segmento de corte: (0,b) e (a,0).
  • Equação da reta que passa por esses pontos: \;y=b\bigl(1-\dfrac{x}{a}\bigr) (porque a inclinação é -\dfrac{b}{a} e passa por (0,b)).
  • Devemos determinar o centróide de cada porção (duas porções): a porção limitada entre o arco da elipse no 1.º quadrante e o segmento (vou chamar de porção “cap” ou “setor superior”), e a porção complementar (o “resto” da elipse).
O plano de ação será calcular, para a porção do primeiro quadrante entre a curva elíptica superior y_{\text{elip}}(x)=b\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}} e a reta y_{\text{reta}}(x)=b\bigl(1-\dfrac{x}{a}\bigr), a área e os primeiros momentos; daí obtemos o centróide dessa porção. O centróide da porção complementar será obtido usando o centróide da elipse inteira (que é a origem) e a conservação do momento.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de integração para centróide de uma lâmina de densidade uniforme (densidade \rho constante, aqui \rho=1 por simplicidade):
  • Se uma região é dada por \;y_{\text{top}}(x)\ge y_{\text{bot}}(x) para x\in[x_1,x_2], a área é
A=\int_{x_1}^{x_2}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
  • Primeiro momento em relação ao eixo y (usado para obter \bar{x}):
M_y=\int_{x_1}^{x_2} x\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx, \qquad \bar{x}=\dfrac{M_y}{A}.
  • Primeiro momento em relação ao eixo x (usado para obter \bar{y}):
M_x=\dfrac{1}{2}\int_{x_1}^{x_2}\bigl(y_{\text{top}}(x)^2-y_{\text{bot}}(x)^2\bigr)\,dx, \qquad \bar{y}=\dfrac{M_x}{A}.
Vou aplicar essas fórmulas à porção do 1.º quadrante entre x=0 e x=a, com
y_{\text{top}}(x)=b\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}},\qquad y_{\text{bot}}(x)=b\Bigl(1-\dfrac{x}{a}\Bigr).
Para facilitar as integrais, farei a substituição trigonométrica
x=a\sin\theta,\qquad dx=a\cos\theta\,d\theta, \qquad \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr],
pois então y_{\text{top}}=b\cos\theta e y_{\text{bot}}=b(1-\sin\theta).

Passo 3

Calcular a área da porção (a “cap” no 1.º quadrante).
Usando a substituição,
A_{\text{cap}}=\int_{0}^{a}\bigl(y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}\bigr)\,dx =ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\cos\theta-(1-\sin\theta)\bigr)\cos\theta\,d\theta.
Expande-se o integrando:
\cos\theta-(1-\sin\theta)=\cos\theta-1+\sin\theta,
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A_{\text{cap}}=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\cos^2\theta-\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\bigr)\,d\theta.
Agora integramos termo a termo (mostrando as integrais):
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta=1, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin2\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1-(-1))=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot2=\frac{1}{2}.
(Já usei que \int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta=1.)
Portanto
A_{\text{cap}}=ab\Bigl(\frac{\pi}{4}-1+\frac{1}{2}\Bigr) =ab\Bigl(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\Bigr) =ab\cdot\frac{\pi-2}{4}.
Observação útil: a área total da elipse é \;A_{\text{tot}}=\pi ab. A porção complementar (o “resto”) terá área
A_{\text{rest}}=A_{\text{tot}}-A_{\text{cap}}=\pi ab - ab\cdot\frac{\pi-2}{4} =ab\cdot\frac{3\pi+2}{4}.

Passo 4

Calcular \bar{x} da porção “cap”.
O momento M_y=\int x(y_{\text{top}}-y_{\text{bot}})\,dx. Com a substituição x=a\sin\theta, dx=a\cos\theta\,d\theta,
M_y = a^2 b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos\theta\bigl(\cos\theta-1+\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Expandindo os fatores obtemos as três integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta.
Calculamos cada uma com substituições simples:
  • Para \int \sin\theta\cos^2\theta\,d\theta, use u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta, daí
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta = -\int_{1}^{0} u^2\,du = \frac{1}{3}.
  • \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\dfrac{1}{2} (já calculado).
  • E \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta, usando w=\sin\theta, dw=\cos\theta\,d\theta, dá
\int_{0}^{1} w^2\,dw=\frac{1}{3}.
Assim o conjunto fornece
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\bigl(\cos\theta-1+\sin\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto
M_y = a^2 b\cdot\frac{1}{6}.
Logo
\bar{x}_{\text{cap}}=\dfrac{M_y}{A_{\text{cap}}} =\dfrac{a^2 b \cdot \dfrac{1}{6}}{ab\cdot\dfrac{\pi-2}{4}} = a\cdot\dfrac{4}{6(\pi-2)} = \dfrac{2a}{3(\pi-2)}.

Passo 5

Calcular \bar{y} da porção “cap”.
O momento M_x=\dfrac{1}{2}\int\bigl(y_{\text{top}}^2-y_{\text{bot}}^2\bigr)\,dx. Substituindo,
\int_{0}^{a}\bigl(y_{\text{top}}^2-y_{\text{bot}}^2\bigr)\,dx = a b^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\cos^2\theta-(1-\sin\theta)^2\bigr)\cos\theta\,d\theta.
Simplificando o integrando:
\cos^2\theta-(1-\sin\theta)^2=\cos^2\theta-(1-2\sin\theta+\sin^2\theta) =-2\sin^2\theta+2\sin\theta =2\sin\theta(1-\sin\theta).
Logo
\int_{0}^{a}\bigl(y_{\text{top}}^2-y_{\text{bot}}^2\bigr)\,dx =2ab^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta(1-\sin\theta)\,d\theta.
Já calculamos integrais semelhantes: com K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta(1-\sin\theta)\,d\theta temos
K=\int\sin\theta\cos\theta\,d\theta - \int\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto
\int_{0}^{a}\bigl(y_{\text{top}}^2-y_{\text{bot}}^2\bigr)\,dx = 2ab^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{ab^2}{3}.
Assim
M_x=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab^2}{3}=\frac{ab^2}{6}.
Finalmente
\bar{y}_{\text{cap}}=\dfrac{M_x}{A_{\text{cap}}} =\dfrac{\dfrac{ab^2}{6}}{ab\cdot\dfrac{\pi-2}{4}} = b\cdot\dfrac{4}{6(\pi-2)} = \dfrac{2b}{3(\pi-2)}.

Passo 6

Resumo do centróide da porção “cap” (aquela entre o arco da elipse no 1.º quadrante e o segmento):
\boxed{\bigl(\bar{x}_{\text{cap}},\bar{y}_{\text{cap}}\bigr) =\Bigl(\dfrac{2a}{3(\pi-2)},\;\dfrac{2b}{3(\pi-2)}\Bigr).}
Note a simetria: as coordenadas são proporcionais a a e b com o mesmo coeficiente.

Passo 7

Agora obtemos o centróide da porção complementar (o “resto” da elipse). Usamos que o centróide da elipse inteira é a origem (0,0) (pela simetria da elipse). A conservação de momento total dá:
A_{\text{tot}}\,(0,0)=A_{\text{cap}}\bigl(\bar{x}_{\text{cap}},\bar{y}_{\text{cap}}\bigr) + A_{\text{rest}}\bigl(\bar{x}_{\text{rest}},\bar{y}_{\text{rest}}\bigr).
Logo
\bigl(\bar{x}_{\text{rest}},\bar{y}_{\text{rest}}\bigr) = -\dfrac{A_{\text{cap}}}{A_{\text{rest}}}\bigl(\bar{x}_{\text{cap}},\bar{y}_{\text{cap}}\bigr).
Calculamos a razão
\dfrac{A_{\text{cap}}}{A_{\text{rest}}} =\dfrac{\dfrac{\pi-2}{4}ab}{\dfrac{3\pi+2}{4}ab} =\dfrac{\pi-2}{3\pi+2}.
Multiplicando pela coordenada do cap que já tinha \dfrac{2}{3(\pi-2)} aparece cancelamento de \pi-2, obtendo-se
\bar{x}_{\text{rest}}=-\dfrac{\pi-2}{3\pi+2}\cdot\dfrac{2a}{3(\pi-2)} =-\dfrac{2a}{3(3\pi+2)},
\bar{y}_{\text{rest}}=-\dfrac{2b}{3(3\pi+2)}.

Resposta

\displaystyle \bigl(\bar{x}_{\text{cap}},\bar{y}_{\text{cap}}\bigr)=\Bigl(\dfrac{2a}{3(\pi-2)},\;\dfrac{2b}{3(\pi-2)}\Bigr)\n
\displaystyle \bigl(\bar{x}_{\text{rest}},\bar{y}_{\text{rest}}\bigr)=\Bigl(-\dfrac{2a}{3(3\pi+2)},\;-\dfrac{2b}{3(3\pi+2)}\Bigr)

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