Seja 
  a base canônica de 
 . A partir de 
 , obtenha uma base ortonormal para 
 , em relação aos seguintes produtos internos:
(b) 
 .
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, usando a base canônica 
 . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Precisaremos calcular produtos internos segundo o produto definido:
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor da base, que é 
 . A normalização envolve dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma é dada por:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 3
Agora, vamos tornar o segundo vetor, 
 , ortogonal em relação a 
 . Subtraímos a projeção de 
  em 
 :
Primeiro, calculamos 
 :
Então, 
  já é ortogonal a 
 . Agora, normalizamos 
 :
Portanto, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 4
Por fim, vamos ortogonalizar e normalizar o terceiro vetor, 
 , em relação a 
  e 
 . Primeiro, subtraímos as projeções de 
  em 
  e 
 :
Calculamos cada produto interno:
Substituindo na expressão de 
 :
Simplificando:
Agora, normalizamos 
 :
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal para 
  é: