Seja beta=(1,1,1),(1,2,3),(1,5,8) uma base de R^3.
Determine a matriz coordenada de u=(3,1,2) em relação a base beta, ou seja, [u]beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base β de R^3 formada pelos vetores (1,1,1), (1,2,3) e (1,5,8). Nosso objetivo é descobrir as coordenadas do vetor u = (3,1,2) nessa base β, ou seja, encontrar [u]beta. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em termos de uma base e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor u como uma combinação linear dos vetores da base β. Isso significa que vamos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
u = c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,2,3) + c3 cdot (1,5,8)

Passo 3

Vamos quebrar essa equação em componentes para facilitar. Isso nos dá um sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = 3 c1 + 2c2 + 5c3 = 1 c1 + 3c2 + 8c3 = 2
Aqui, a primeira equação vem da primeira coordenada de u, a segunda da segunda coordenada e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos começar subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar c1:
Subtraindo a primeira da segunda:
(c1 + 2c2 + 5c3) - (c1 + c2 + c3) = 1 - 3 c2 + 4c3 = -2
Subtraindo a primeira da terceira:
(c1 + 3c2 + 8c3) - (c1 + c2 + c3) = 2 - 3 2c2 + 7c3 = -1
Agora temos um sistema reduzido:
c2 + 4c3 = -2 2c2 + 7c3 = -1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema reduzido. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda para eliminar c2:
2(c2 + 4c3) = 2(-2) 2c2 + 8c3 = -4
Agora subtraímos da segunda equação:
(2c2 + 7c3) - (2c2 + 8c3) = -1 - (-4) - c3 = 3 c3 = -3

Passo 6

Com c3 = -3, voltamos para a equação c2 + 4c3 = -2:
c2 + 4(-3) = -2 c2 - 12 = -2 c2 = 10

Passo 7

Agora que temos c2 = 10 e c3 = -3, substituímos na primeira equação original para encontrar c1:
c1 + 10 + (-3) = 3 c1 + 7 = 3 c1 = -4

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor u = (3,1,2) na base β são:
[u]beta = -4 10 -3

Exercícios relacionados