Seja beta=(1,1,1),(1,2,3),(1,5,8) uma base de R^3.
Determine o vetor v in R^3 cuja matriz coordenada em relação a base beta é [v]beta=[c-2 3 1].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base beta = (1,1,1), (1,2,3), (1,5,8) do espaço R^3. A base é um conjunto de vetores que, combinados linearmente, podem gerar qualquer vetor no espaço. A questão nos pede para encontrar o vetor v in R^3 cuja matriz coordenada em relação a essa base beta é [v]beta = -2 3 1 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor v em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base beta. Isso significa que:
v = c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,2,3) + c3 cdot (1,5,8)
onde c1, c2 e c3 são os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 3

A matriz coordenada [v]beta nos dá exatamente esses coeficientes. No caso, temos:
[c1 c2 c3] = -2 3 1
Então, c1 = -2, c2 = 3 e c3 = 1.

Passo 4

Agora, substituímos esses coeficientes na combinação linear que escrevemos anteriormente:
v = (-2) cdot (1,1,1) + 3 cdot (1,2,3) + 1 cdot (1,5,8)

Passo 5

Vamos calcular cada parte da combinação:
  • (-2) cdot (1,1,1) = (-2, -2, -2)
  • 3 cdot (1,2,3) = (3, 6, 9)
  • 1 cdot (1,5,8) = (1, 5, 8)

Passo 6

Agora, somamos esses vetores resultantes componente a componente:
v = (-2, -2, -2) + (3, 6, 9) + (1, 5, 8)
Vamos somar as coordenadas:
  • Primeiro componente: -2 + 3 + 1 = 2
  • Segundo componente: -2 + 6 + 5 = 9
  • Terceiro componente: -2 + 9 + 8 = 15

Resposta

Portanto, o vetor v é (2, 9, 15).

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