Seja
f(x)= \begin{cases}0 & 0<x \leq 1 \\\\ 2 & 1<x \leq 2 \\\\ 0 & 2<x<3\end{cases}
(a) Estenda f(x) para todos os outros valores reais de x como uma função par e periódica de período 6. Esboce o gráfico da extensão.
(b) Estenda f(x) para todos os outros valores reais de x como uma função ímpar e periódica de período 6. Esboce o gráfico da extensão.
(c) Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (0,3)\) por \[f(x)= \begin{cases}0 & 0<x \leq 1 \\[4pt] 2 & 1<x \leq 2 \\[4pt] 0 & 2<x<3\end{cases}
E pede três coisas:
  • (a) Estender f\] para todos os reais como função par e periódica de período \(6, e esboçar o gráfico dessa extensão.
  • (b) Estender f para todos os reais como função ímpar e periódica de período 6, e esboçar o gráfico dessa extensão.
  • (c) Calcular a série de Fourier da extensão ímpar de f.
Informações relevantes dadas (que vou usar depois):
  • Valores originais de f para 0<x<3: f(x)=0 em (0,1] e em (2,3), e f(x)=2 em (1,2].
  • O período pedido é 6, portanto o semi-período será L=3 (isto é, a construção padrão em [-3,3] e depois repetir).
  • Para as extensões par/ímpar, vou refletir o ramo positivo (0,3) para o intervalo (-3,0) com ou sem mudança de sinal, e então repetir com período 6.]

Passo 2

Conceito e procedimento para fazer a extensão par periódica (explicação didática):
  • Uma função é par quando \,g(-x)=g(x) para todo x. Fazer a extensão par significa: para x negativos, atribuir o mesmo valor do simétrico positivo.
  • Depois de definir a função em [-3,3] fazendo a reflexão par, repetimos com período 6: isto é, a função satisfaz \,g(x+6)=g(x) para todo x.
  • Em termos práticos: primeiro tomo a definição dada em (0,3), defino os valores em [-3,0) por g(-x)=g(x), e então imponho periodicidade 6.

Passo 3

Fórmula e descrição explícita da extensão par (peça‑a‑peça):
  • No intervalo fundamental (-3,3]\) defino a extensão par \(f_{\text{par}}\) por reflexão do ramo positivo; usando valor absoluto para resumir: \[f_{\text{par}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2, & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3. \end{cases}
  • Em seguida estendo por periodicidade 6\]: \[f_{\text{par}}(x+6)=f_{\text{par}}(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.\] - Observações sobre valores nos pontos isolados (como \(x=0,\pm1,\pm2,\pm3): a definição original não especifica x=0 nem x=\pm3; esses pontos isolados não alteram a série de Fourier. Posso escolher f_{\text{par}}(0)=0 para conveniência, por exemplo.]

Passo 4

Esboço verbal do gráfico da extensão par (como desenhar na prova):
  • No intervalo (-3,3] aparece um “pulso” de altura 2 localizado entre |x|\in(1,2]. Ou seja:
    • Para x entre -3 e -2: f_{\text{par}}(x)=0.
    • Entre -2 e -1: f_{\text{par}}(x)=2.
    • Entre -1 e 0: f_{\text{par}}(x)=0.
    • Entre 0 e 1: f_{\text{par}}(x)=0.
    • Entre 1 e 2: f_{\text{par}}(x)=2.
    • Entre 2 e 3: f_{\text{par}}(x)=0.
  • Depois repete esse padrão a cada intervalo de comprimento 6. No papel, desenhe blocos retangulares (altura 2) centrados simetricamente em torno da origem, com largura 1 à direita e esquerda do eixo (isto é, pulse em (1,2) e (-2,-1)), e repita periodicamente.

Passo 5

Conceito e procedimento para fazer a extensão ímpar periódica (explicação didática):
  • Uma função é ímpar quando \,h(-x)=-h(x) para todo x. Fazer a extensão ímpar significa: para x negativos, atribuir o negativo do valor no simétrico positivo.
  • Novamente, primeiro defino no intervalo [-3,3] pelo critério ímpar (usando o ramo positivo em [0,3]), e depois repito por periodicidade 6.

Passo 6

Fórmula e descrição explícita da extensão ímpar:
  • No intervalo fundamental (-3,3]\) defino \(f_{\text{ímpar}}\) por \[f_{\text{ímpar}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2\,\operatorname{sgn}(x), & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3, \end{cases}
onde (\operatorname{sgn}(x)= \begin{cases}1,&x>0,\\[2pt]-1,&x<0,\end{cases}] (novamente os pontos isolados podem ser escolhidos convenientemente).
  • Em seguida imposto a periodicidade:
f_{\text{ímpar}}(x+6)=f_{\text{ímpar}}(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.íí]

Passo 7

Esboço verbal do gráfico da extensão ímpar:
  • No intervalo (-3,3]:
    • Em (1,2]: f_{\text{ímpar}}(x)=2í (pulso positivo).
    • Em (-2,-1]: f_{\text{ímpar}}(x)=-2í (pulso simétrico negativo).
    • Fora dessas faixas, entre -1 e 1 e entre -3 e -2, entre 2 e 3, a função vale 0.
  • Esse padrão de um pulso positivo à direita e um pulso negativo simétrico à esquerda se repete com período 6.

Passo 8

Preparação para calcular a série de Fourier (lembrete das fórmulas):
  • Para uma função periódica de período T=6 tomamos L=\frac{T}{2}=3. A série de Fourier geral em [-L,L] é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\bigr).
  • As fórmulas dos coeficientes são
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
  • Como a extensão que vamos usar é ímpar, propriedades de simetria simplificam:
    • Se f é ímpar então a_0=0 e a_n=0 para todo n (produto ímpar·par é ímpar, integral zero).
    • Sob essa condição a série fica pura em senos:
    f_{\text{ímpar}}(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).í
    • Além disso, para b_n podemos usar a simetria: produto ímpar·ímpar é par, logo
    b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 9

Aplicando as fórmulas ao nosso caso ( L=3) e usando que f (no semi‑intervalo [0,3]) vale somente 2 em (1,2]:
  • Por simetria para a extensão ímpar:
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{2}{3}\int_{0}^{3} f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx.
  • Como f(x)=0 para 0<x\le 1 e para 2<x<3, e f(x)=2 para 1<x\le 2, a integral reduz-se a
b_n=\frac{2}{3}\int_{1}^{2} 2\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx =\frac{4}{3}\int_{1}^{2} \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx.

Passo 10

Calcule a integral explicitamente (passo a passo):
  • Seja a=\tfrac{n\pi}{3}. Então \int \sin(ax)\,dx = -\tfrac{1}{a}\cos(ax).
  • Portanto
\int_{1}^{2} \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx = -\frac{1}{a}\bigl[\cos(a x)\bigr]_{x=1}^{x=2} = -\frac{1}{a}\bigl(\cos(2a)-\cos(a)\bigr).
  • Substituindo a=\tfrac{n\pi}{3} e multiplicando pelo fator \tfrac{4}{3} temos
b_n=\frac{4}{3}\cdot\Bigl(-\frac{1}{a}\Bigr)\bigl(\cos(2a)-\cos(a)\bigr) = \frac{4}{3}\cdot\Bigl(-\frac{3}{n\pi}\Bigr)\bigl(\cos(\tfrac{2n\pi}{3})-\cos(\tfrac{n\pi}{3})\bigr).
  • Simplificando os sinais e fatores:
b_n=\frac{4}{n\pi}\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{3})-\cos(\tfrac{2n\pi}{3})\bigr).

Passo 11

Simplificação trigonométrica (usar identidade para ficar com produto de senos):
  • Usar a identidade \cos A-\cos B = -2\sin\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr).
  • Tomando A=\tfrac{n\pi}{3} e B=\tfrac{2n\pi}{3} obtemos
\cos(\tfrac{n\pi}{3})-\cos(\tfrac{2n\pi}{3}) = -2\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(-\tfrac{n\pi}{6}\bigr).
  • Como \sin(-\theta)=-\sin(\theta), isso dá
\cos(\tfrac{n\pi}{3})-\cos(\tfrac{2n\pi}{3}) = -2\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cdot(-\sin(\tfrac{n\pi}{6})) =2\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr).
  • Substituindo na expressão de b_n:
b_n=\frac{4}{n\pi}\cdot 2\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr) = \frac{8}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr).

Passo 12

Interpretação prática do coeficiente b_n:
  • Note que \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 quando n é par; assim todos os b_n com n par são zero. Ou seja, só aparecem termos com n ímpar.
  • Para n ímpar, \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=\pm 1 e \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr) toma valores conforme n\bmod 12. Mas não é necessário tabular tudo: a forma compacta é mais informativa.

Passo 13

Escrevendo a série de Fourier final da extensão ímpar:
  • Colocando L=3 na série de senos e substituindo b_n obtém-se
f_{\text{ímpar}}(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr), \qquad\text{com}\qquad b_n=\frac{8}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr).í
  • Alternativamente, escrevendo apenas sobre os n ímpares n=2k-1:
f_{\text{ímpar}}(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{(2k-1)\pi}\,(-1)^{\,k-1}\sin\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{6}\bigr)\, \sin\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{3}\bigr),í
pois \sin\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\bigr)=(-1)^{k-1}.

Passo 14

Exemplos numéricos dos primeiros termos (útil para intuir a série):
  • b_1=\dfrac{4}{\pi}, b_2=0, b_3=-\dfrac{8}{3\pi}, b_4=0, b_5=\dfrac{4}{5\pi}, …
  • Assim, os primeiros termos da série são
f_{\text{ímpar}}(x)\approx \frac{4}{\pi}\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) -\frac{8}{3\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr) +\frac{4}{5\pi}\sin\bigl(\tfrac{5\pi x}{3}\bigr)+\cdots.í
  • Isso mostra o padrão: apenas harmônicos ímpares aparecem, com sinais alternados conforme os \sin(\tfrac{n\pi}{2}).

Resposta

(a) A extensão par periódica de período 6\) é, no intervalo fundamental \((-3,3]\), \[f_{\text{par}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2, & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3, \end{cases} \quad\text{e }f_{\text{par}}(x+6)=f_{\text{par}}(x).
(b) A extensão ímpar periódica de período 6\] é, no intervalo fundamental \[(-3,3],
f_{\text{ímpar}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2\,\operatorname{sgn}(x), & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3, \end{cases} \quad\text{e }f_{\text{ímpar}}(x+6)=f_{\text{ímpar}}(x).ííí
(c) A série de Fourier da extensão ímpar (periodo 6\], com \(L=3) é
f_{\text{ímpar}}(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr), \quad\text{com}\quad b_n=\frac{8}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr).í]

Exercícios relacionados