(a) Estenda f(x) para todos os outros valores reais de x como uma função par e periódica de período 6. Esboce o gráfico da extensão.
(b) Estenda f(x) para todos os outros valores reais de x como uma função ímpar e periódica de período 6. Esboce o gráfico da extensão.
(c) Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f(x).
Passo 1
O enunciado dá a função definida em (0,3)\) por
\[f(x)= \begin{cases}0 & 0<x \leq 1 \\[4pt] 2 & 1<x \leq 2 \\[4pt] 0 & 2<x<3\end{cases}
E pede três coisas:
(a) Estender f\] para todos os reais como função par e periódica de período \(6, e esboçar o gráfico dessa extensão.
(b) Estender f para todos os reais como função ímpar e periódica de período 6, e esboçar o gráfico dessa extensão.
(c) Calcular a série de Fourier da extensão ímpar de f.
Valores originais de f para 0<x<3: f(x)=0 em (0,1] e em (2,3), e f(x)=2 em (1,2].
O período pedido é 6, portanto o semi-período será L=3 (isto é, a construção padrão em [-3,3] e depois repetir).
Para as extensões par/ímpar, vou refletir o ramo positivo (0,3) para o intervalo (-3,0) com ou sem mudança de sinal, e então repetir com período 6.]
Passo 2
Conceito e procedimento para fazer a extensão par periódica (explicação didática):
Uma função é par quando \,g(-x)=g(x) para todo x. Fazer a extensão par significa: para x negativos, atribuir o mesmo valor do simétrico positivo.
Depois de definir a função em [-3,3] fazendo a reflexão par, repetimos com período 6: isto é, a função satisfaz \,g(x+6)=g(x) para todo x.
Em termos práticos: primeiro tomo a definição dada em (0,3), defino os valores em [-3,0) por g(-x)=g(x), e então imponho periodicidade 6.
Passo 3
Fórmula e descrição explícita da extensão par (peça‑a‑peça):
No intervalo fundamental (-3,3]\) defino a extensão par \(f_{\text{par}}\) por reflexão do ramo positivo; usando valor absoluto para resumir:
\[f_{\text{par}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2, & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3. \end{cases}
Em seguida estendo por periodicidade 6\]:
\[f_{\text{par}}(x+6)=f_{\text{par}}(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.\]
- Observações sobre valores nos pontos isolados (como \(x=0,\pm1,\pm2,\pm3): a definição original não especifica x=0 nem x=\pm3; esses pontos isolados não alteram a série de Fourier. Posso escolher f_{\text{par}}(0)=0 para conveniência, por exemplo.]
Passo 4
Esboço verbal do gráfico da extensão par (como desenhar na prova):
No intervalo (-3,3] aparece um “pulso” de altura 2 localizado entre |x|\in(1,2]. Ou seja:
Para x entre -3 e -2: f_{\text{par}}(x)=0.
Entre -2 e -1: f_{\text{par}}(x)=2.
Entre -1 e 0: f_{\text{par}}(x)=0.
Entre 0 e 1: f_{\text{par}}(x)=0.
Entre 1 e 2: f_{\text{par}}(x)=2.
Entre 2 e 3: f_{\text{par}}(x)=0.
Depois repete esse padrão a cada intervalo de comprimento 6. No papel, desenhe blocos retangulares (altura 2) centrados simetricamente em torno da origem, com largura 1 à direita e esquerda do eixo (isto é, pulse em (1,2) e (-2,-1)), e repita periodicamente.
Passo 5
Conceito e procedimento para fazer a extensão ímpar periódica (explicação didática):
Uma função é ímpar quando \,h(-x)=-h(x) para todo x. Fazer a extensão ímpar significa: para x negativos, atribuir o negativo do valor no simétrico positivo.
Novamente, primeiro defino no intervalo [-3,3] pelo critério ímpar (usando o ramo positivo em [0,3]), e depois repito por periodicidade 6.
Passo 6
Fórmula e descrição explícita da extensão ímpar:
No intervalo fundamental (-3,3]\) defino \(f_{\text{ímpar}}\) por
\[f_{\text{ímpar}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2\,\operatorname{sgn}(x), & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3, \end{cases}
onde (\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\[2pt]-1,&x<0,\end{cases}] (novamente os pontos isolados podem ser escolhidos convenientemente).
Em seguida imposto a periodicidade:
f_{\text{ímpar}}(x+6)=f_{\text{ímpar}}(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.íí]
Passo 7
Esboço verbal do gráfico da extensão ímpar:
No intervalo (-3,3]:
Em (1,2]: f_{\text{ímpar}}(x)=2í (pulso positivo).
Em (-2,-1]: f_{\text{ímpar}}(x)=-2í (pulso simétrico negativo).
Fora dessas faixas, entre -1 e 1 e entre -3 e -2, entre 2 e 3, a função vale 0.
Esse padrão de um pulso positivo à direita e um pulso negativo simétrico à esquerda se repete com período 6.
Passo 8
Preparação para calcular a série de Fourier (lembrete das fórmulas):
Para uma função periódica de período T=6 tomamos L=\frac{T}{2}=3. A série de Fourier geral em [-L,L] é
Note que \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 quando n é par; assim todos os b_n com n par são zero. Ou seja, só aparecem termos com n ímpar.
Para n ímpar, \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=\pm 1 e \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr) toma valores conforme n\bmod 12. Mas não é necessário tabular tudo: a forma compacta é mais informativa.
Passo 13
Escrevendo a série de Fourier final da extensão ímpar:
Colocando L=3 na série de senos e substituindo b_n obtém-se
Isso mostra o padrão: apenas harmônicos ímpares aparecem, com sinais alternados conforme os \sin(\tfrac{n\pi}{2}).
Resposta
(a) A extensão par periódica de período 6\) é, no intervalo fundamental \((-3,3]\),
\[f_{\text{par}}(x)= \begin{cases} 0, & 0<|x|\le 1,\\[4pt] 2, & 1<|x|\le 2,\\[4pt] 0, & 2<|x|<3, \end{cases} \quad\text{e }f_{\text{par}}(x+6)=f_{\text{par}}(x).
(b) A extensão ímpar periódica de período 6\] é, no intervalo fundamental \[(-3,3],