Explicação curta: escrevemos as séries dessa forma para que todos os termos fiquem na forma \text{coef}\cdot x^{n}, facilitando comparar coeficientes potência a potência.
Passo 3
Substituo as séries na equação \;y''-x^2 y=0. Primeiro escrevo x^2 y como série com a mesma base x^n:
Explicação didática: equacionamos termo a termo porque uma série nula tem todos os coeficientes iguais a zero; assim cada potência x^n dá uma equação para os a_n.
Passo 5
Agora uso as condições iniciais para fixar os primeiros coeficientes:
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=0.
Já tínhamos de antes a_2=0 e a_3=0.
Observação importante (simples): a recorrência relaciona coeficientes com passo +4 (porque liga a_{n+2} com a_{n-2}). Isso implica que os coeficientes se dividem em duas famílias (par e ímpar), e dentro de cada família em subfamílias separadas por 4. Como a_1=0 gera a_3=0 e então, por iteração da recorrência, todos os coeficientes de índice ímpar serão zero. Portanto a solução é uma série par:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{4k} x^{4k}.
Passo 6
Vamos calcular explicitamente alguns coeficientes para “pegar o jeito” do padrão.
com a convenção \prod_{j=1}^{0}(\cdot)=1 (logo o termo k=0 é 1).
Explicação do raciocínio: iterando a relação a_{n+2}=a_{n-2}/((n+2)(n+1)) sobre os índices n=2,6,10,\dots,4k-2 obtemos o produto no denominador mostrado.
Passo 8
Para ficar prático para a prova, escrevo os primeiros termos explícitos (já computados):
Breve incentivo: se precisar, na prova calcule 2 ou 3 termos explícitos como fizemos; isso normalmente basta para identificar a série ou para checar aproximações.