Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-x^{2} y=0, \quad y(0)=1 \text { e } y^{\prime}(0)=0
através de uma série de potências em torno do ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y^{\prime\prime}-x^{2}y=0,\qquad y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0
através de uma série de potências centrada em x=0.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem é \;y^{\prime\prime}-x^{2}y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
  • O objetivo é obter uma solução em série de potências em torno de x=0 (ou seja, encontrar os coeficientes da série).

Passo 2

Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em 0. Escrevo a série geral e as suas derivadas:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. As derivadas são
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
Explicação curta: escrevemos as séries dessa forma para que todos os termos fiquem na forma \text{coef}\cdot x^{n}, facilitando comparar coeficientes potência a potência.

Passo 3

Substituo as séries na equação \;y''-x^2 y=0. Primeiro escrevo x^2 y como série com a mesma base x^n:
x^2 y(x)=x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2}=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n}.
y'' está em potências x^n:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
Logo a equação fica
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n} =0.

Passo 4

Para igualar coeficientes, convém separar os casos das potências iniciais. Escrevo as duas somas alinhadas por potências x^n.
  • Para n=0: só aparece da primeira soma; o coeficiente de x^0
2\cdot1\; a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
  • Para n=1: só aparece da primeira soma; o coeficiente de x^1
3\cdot2\; a_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_3=0.
  • Para n\ge 2: ambos aparecem e devemos ter
(n+2)(n+1) a_{n+2} - a_{n-2} = 0.
Dessa igualdade obtemos a relação de recorrência
\boxed{\,a_{n+2}=\dfrac{a_{n-2}}{(n+2)(n+1)}\quad\text{para }n\ge 2.}
Explicação didática: equacionamos termo a termo porque uma série nula tem todos os coeficientes iguais a zero; assim cada potência x^n dá uma equação para os a_n.

Passo 5

Agora uso as condições iniciais para fixar os primeiros coeficientes:
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=0.
Já tínhamos de antes a_2=0 e a_3=0.
Observação importante (simples): a recorrência relaciona coeficientes com passo +4 (porque liga a_{n+2} com a_{n-2}). Isso implica que os coeficientes se dividem em duas famílias (par e ímpar), e dentro de cada família em subfamílias separadas por 4. Como a_1=0 gera a_3=0 e então, por iteração da recorrência, todos os coeficientes de índice ímpar serão zero. Portanto a solução é uma série par:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{4k} x^{4k}.

Passo 6

Vamos calcular explicitamente alguns coeficientes para “pegar o jeito” do padrão.
Usando a recorrência com n=2 obtemos a_4:
a_4=\dfrac{a_0}{4\cdot3}=\dfrac{1}{12}.
Com n=6 obtemos a_8:
a_8=\dfrac{a_4}{8\cdot7}=\dfrac{1/12}{56}=\dfrac{1}{12\cdot56}=\dfrac{1}{672}.
Com n=10 obtemos a_{12}:
a_{12}=\dfrac{a_8}{12\cdot11}=\dfrac{1/672}{132}=\dfrac{1}{672\cdot132}=\dfrac{1}{88704}.
Se quiser calcular mais termos, continua-se a mesma ideia: cada novo coeficiente a_{4(k+1)} é obtido dividindo a_{4k} por (4(k+1))(4(k+1)-1).

Passo 7

Agora eu escrevo a expressão geral dos coeficientes a_{4k} por iteração da recorrência. Como a_0=1, para k\ge 1 temos
a_{4k}=\dfrac{a_{4(k-1)}}{(4k)(4k-1)}=\dfrac{a_0}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (4j)(4j-1)} =\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (4j)(4j-1)}.
Portanto a solução em série pode ser escrita como
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (4j)(4j-1)}\right) x^{4k},
com a convenção \prod_{j=1}^{0}(\cdot)=1 (logo o termo k=0 é 1).
Explicação do raciocínio: iterando a relação a_{n+2}=a_{n-2}/((n+2)(n+1)) sobre os índices n=2,6,10,\dots,4k-2 obtemos o produto no denominador mostrado.

Passo 8

Para ficar prático para a prova, escrevo os primeiros termos explícitos (já computados):
y(x)=1+\dfrac{1}{12}x^{4}+\dfrac{1}{672}x^{8}+\dfrac{1}{88704}x^{12}+\cdots,
ou de forma mais compacta com a fórmula do passo anterior:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k} (4j)(4j-1)}\right) x^{4k}.
Breve incentivo: se precisar, na prova calcule 2 ou 3 termos explícitos como fizemos; isso normalmente basta para identificar a série ou para checar aproximações.

Resposta

y(x)=1+\dfrac{1}{12}x^{4}+\dfrac{1}{672}x^{8}+\dfrac{1}{88704}x^{12}+\cdots
\text{ou}\qquad y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(4j)(4j-1)}\right)x^{4k}.

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