Resolva a equação diferencial
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0 \quad y(0)=2 \quad y^{\prime}(0)=3
através de uma série de potências em torno do ponto x=0. Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais:
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y^{\prime}(0)=3.
O que pede o problema:
  • Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes de uma série de potências centrada em x=0.
  • Determinar as duas soluções linearmente independentes (ou seja, as séries correspondentes aos dois graus de liberdade a_{0} e a_{1}), indicando o termo geral de cada solução.
  • (Implícito pelas condições iniciais) usar y(0)=2 e y'(0)=3 para obter a solução particular.

Passo 2

Vamos representar y por uma série de potências centrada em 0. Escrevemos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Explico rapidamente: aqui \,a_{n}\, são números reais (os coeficientes da série) que vamos determinar. As derivadas formais são
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
Essas séries são manipulações padrão: reindexei para obter potências x^{n} com o mesmo expoente em todas elas, o que facilita comparar coeficientes.

Passo 3

Substituímos y\), \(y'\) e \(y''\) na equação dada. Primeiro note \[(x^{2}+1)y''=y''+x^{2}y''.
Usando as séries acima:
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n},
x^{2}y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2}.
Para comparar coeficientes de x^{n} é conveniente escrever o termo x^{2}y'' também como soma em potências x^{n}. Observando que
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n},
podemos então, para cada n\ge 0, afirmar que o coeficiente de x^{n} em (x^{2}+1)y'' é
(n+2)(n+1)a_{n+2} + \begin{cases} n(n-1)a_{n}, & n\ge 2,\\[4pt] 0, & n=0,1.\end{cases}
Agora o termo 6x y'\] é \[6x y' = 6 \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} 6 n a_{n} x^{n},\] ou seja, o coeficiente de \(x^{n} em 6x y' é 6n a_{n} para n\ge1 e 0 para n=0. O termo 4y contribui com 4 a_{n} ao coeficiente de x^{n}.
Somando tudo e impondo que o coeficiente de cada x^{n} seja zero (identicamente nula a série), para n\ge 0 obtemos a relação
(n+2)(n+1)a_{n+2} + \big(n(n-1)+6n+4\big)a_{n}=0.]

Passo 4

Simplificamos o polinômio em n:
n(n-1)+6n+4 = n^{2}+5n+4 = (n+1)(n+4).
Logo a relação de recorrência fica
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (n+1)(n+4)a_{n}=0.
Dividindo por (n+1)(n+2) (válido para todos n\ge0 pois n+1,n+2\neq0) obtemos a forma conveniente
\boxed{\,a_{n+2} = -\frac{n+4}{\,n+2\,}\;a_{n}\,}\qquad (n\ge0).
Comentário pedagógico: essa recorrência relaciona coeficientes com diferença de índice 2, portanto os coeficientes de índices pares dependem só de a_{0} e os de índices ímpares dependem só de a_{1}. Ou seja, as duas soluções independentes vêm naturalmente dos casos a_{0}\neq0,a_{1}=0 e a_{0}=0,a_{1}\neq0.

Passo 5

Agora encontramos o termo geral para os coeficientes pares. Escreva n=2k na recorrência:
a_{2k+2} = -\frac{2k+4}{2k+2}\,a_{2k} = -\frac{k+2}{k+1}\,a_{2k}.
Aplicando essa relação iterativamente (para k=0,1,2,\dots) obtemos
a_{2k} = a_{0}\prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{j+2}{j+1}\right) = a_{0}(-1)^{k}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j+2}{j+1}.
A parte multiplicativa telescopa em termos de fatoriais:
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j+2}{j+1}=\frac{2\cdot3\cdots (k+1)}{1\cdot2\cdots k}=\frac{(k+1)!}{k!}=k+1.
Portanto o termo geral dos coeficientes pares é
\boxed{\,a_{2k}=a_{0}\,(-1)^{k}(k+1)\,,\qquad k\ge0. \,}

Passo 6

Agora os coeficientes ímpares. Para n=2k+1 a recorrência dá
a_{2k+3} = -\frac{2k+5}{2k+3}\,a_{2k+1}.
Iterando (para k=0,1,2,\dots):
a_{2k+1}=a_{1}\prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{2j+5}{2j+3}\right) = a_{1}(-1)^{k}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+5}{2j+3}.
Esse produto também telescopa: os fatores formam a razão
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+5}{2j+3}=\frac{5\cdot7\cdot9\cdots(2k+3)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2k+1)}=\frac{2k+3}{3}.
Logo o termo geral dos coeficientes ímpares é
\boxed{\,a_{2k+1}=a_{1}\,(-1)^{k}\frac{2k+3}{3}\,,\qquad k\ge0. \,}

Passo 7

Escrevemos então as duas soluções independentes (uma com a_{0}=1,a_{1}=0 e outra com a_{0}=0,a_{1}=1).
Solução par (tomando a_{0}=1,\,a_{1}=0):
y_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)x^{2k}.
Uma soma conhecida: para r com |r|<1 tem-se \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)r^{k}=\dfrac{1}{(1-r)^{2}}. Tomando r=-x^{2} obtemos a forma fechada
\boxed{\,y_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)x^{2k}=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,. \,}
Solução ímpar (tomando a_{0}=0,\,a_{1}=1):
y_{2}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2k+3}{3}x^{2k+1}.
Para escrever em forma fechada usei as somas padrões \sum_{k\ge0}r^{k}=\dfrac{1}{1-r} e \sum_{k\ge0}k r^{k}=\dfrac{r}{(1-r)^{2}}. Com r=-x^{2} obtemos, depois de simplificar,
\boxed{\,y_{2}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2k+3}{3}x^{2k+1}=\frac{x(3+x^{2})}{3(1+x^{2})^{2}}\,. \,}
Essas duas funções são linearmente independentes (uma é par, outra é ímpar), portanto formam uma base de soluções.

Passo 8

A solução geral da equação é
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
onde C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1}. Aplicando as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3 obtemos a_{0}=y(0)=2 e a_{1}=y'(0)=3. Assim a solução particular é
y(x)=2\,y_{1}(x)+3\,y_{2}(x).
Substituindo as formas fechadas:
y(x)=2\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}+3\frac{x(3+x^{2})}{3(1+x^{2})^{2}} =\frac{2}{(1+x^{2})^{2}}+\frac{x(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
\boxed{\,y(x)=\frac{x^{3}+3x+2}{(1+x^{2})^{2}}\,. \,}

Resposta

Relação de recorrência: \displaystyle a_{n+2}=-\frac{n+4}{n+2}\,a_{n} \quad (n\ge0)
Termo geral para índices pares: \displaystyle a_{2k}=a_{0}(-1)^{k}(k+1)
Termo geral para índices ímpares: \displaystyle a_{2k+1}=a_{1}(-1)^{k}\frac{2k+3}{3}
Duas soluções linearmente independentes:
\displaystyle y_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)x^{2k}=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}
\displaystyle y_{2}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2k+3}{3}x^{2k+1}=\frac{x(3+x^{2})}{3(1+x^{2})^{2}}
Solução que satisfaz y(0)=2,\;y'(0)=3:
\displaystyle y(x)=\frac{x^{3}+3x+2}{(1+x^{2})^{2}}

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