Resolva a equação diferencial
através de uma série de potências em torno do ponto
. Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais:
O que pede o problema:
- Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes de uma série de potências centrada em
. - Determinar as duas soluções linearmente independentes (ou seja, as séries correspondentes aos dois graus de liberdade
e ), indicando o termo geral de cada solução. - (Implícito pelas condições iniciais) usar
e para obter a solução particular.
Passo 2
Vamos representar
por uma série de potências centrada em
. Escrevemos
Explico rapidamente: aqui
são números reais (os coeficientes da série) que vamos determinar. As derivadas formais são
Essas séries são manipulações padrão: reindexei para obter potências
com o mesmo expoente em todas elas, o que facilita comparar coeficientes.
Passo 3
Substituímos
Usando as séries acima:
Para comparar coeficientes de
é conveniente escrever o termo
também como soma em potências
. Observando que
podemos então, para cada
, afirmar que o coeficiente de
em
é
Agora o termo
em
é
para
e
para
. O termo
contribui com
ao coeficiente de
.
Somando tudo e impondo que o coeficiente de cada
seja zero (identicamente nula a série), para
obtemos a relação
Passo 4
Simplificamos o polinômio em
:
Logo a relação de recorrência fica
Dividindo por
(válido para todos
pois
) obtemos a forma conveniente
Comentário pedagógico: essa recorrência relaciona coeficientes com diferença de índice
, portanto os coeficientes de índices pares dependem só de
e os de índices ímpares dependem só de
. Ou seja, as duas soluções independentes vêm naturalmente dos casos
e
.
Passo 5
Agora encontramos o termo geral para os coeficientes pares. Escreva
na recorrência:
Aplicando essa relação iterativamente (para
) obtemos
A parte multiplicativa telescopa em termos de fatoriais:
Portanto o termo geral dos coeficientes pares é
Passo 6
Agora os coeficientes ímpares. Para
a recorrência dá
Iterando (para
):
Esse produto também telescopa: os fatores formam a razão
Logo o termo geral dos coeficientes ímpares é
Passo 7
Escrevemos então as duas soluções independentes (uma com
e outra com
).
Solução par (tomando
):
Uma soma conhecida: para
com
tem-se
. Tomando
obtemos a forma fechada
Solução ímpar (tomando
):
Para escrever em forma fechada usei as somas padrões
e
. Com
obtemos, depois de simplificar,
Essas duas funções são linearmente independentes (uma é par, outra é ímpar), portanto formam uma base de soluções.
Passo 8
A solução geral da equação é
onde
e
. Aplicando as condições iniciais
e
obtemos
e
. Assim a solução particular é
Substituindo as formas fechadas:
Simplificando o numerador:
Resposta
Relação de recorrência:
Termo geral para índices pares:
Termo geral para índices ímpares:
Duas soluções linearmente independentes:
Solução que satisfaz
: