S(x)= \begin{cases}0.5 x^{3}+1.5 x^{2}+1, & x \in[-1,0], \\\\ -0.5 x^{3}+1.5 x^{2}+1, & x \in[0,1]\end{cases}
Verifique se S(x) seja spline cúbico normal.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
S(x)= \begin{cases}0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1, & x \in[-1,0], \\[6pt] -0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1, & x \in[0,1]\end{cases}
e pede para verificar se S(x) é um spline cúbico normal.
Informações relevantes fornecidas:
Há duas parcelas polinomiais: a peça à esquerda (para x\in[-1,0]) e a peça à direita (para x\in[0,1]).
Cada peça é um polinômio de grau 3 (cúbico).
O nó interior é x=0. Os extremos do domínio são x=-1 e x=1.
Pergunta que precisamos responder:
S(x) satisfaz as definições necessárias para ser (i) um spline cúbico (continuidade de ordem adequada nas junções) e (ii) um spline cúbico normal (condição natural nos extremos)?]
Passo 2
Relembrando o que precisamos verificar (aulas rápidas, sem enrolar):
Um spline cúbico numa partição com nós (neste caso nós -1,0,1) é uma função que em cada subintervalo é um polinômio de grau 3 e que tem continuidade das derivadas até a segunda ordem nos nós interiores. Ou seja, a função deve ser C^{2} em todo o domínio: continuidade de S, S' e S'' em x=0.
Um spline cúbico “normal” (também chamado “natural”) satisfaz, além disso, as condições de fronteira naturais: as segundas derivadas nas extremidades do domínio são zero, ou seja \,S''(-1)=0 e \,S''(1)=0.
Vamos então verificar: (A) continuidade em x=0 de S, S', S''; (B) se S''(-1)=0 e S''(1)=0.
Passo 3
Calcular derivadas das duas peças (explico como faço: a derivada de a x^{3} é 3a x^{2} e de b x^{2} é 2b x). Escrevo cada peça e suas derivadas.