1. Seja
S(x)= \begin{cases}0.5 x^{3}+1.5 x^{2}+1, & x \in[-1,0], \\\\ -0.5 x^{3}+1.5 x^{2}+1, & x \in[0,1]\end{cases}
Verifique se S(x) seja spline cúbico normal.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
S(x)= \begin{cases}0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1, & x \in[-1,0], \\[6pt] -0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1, & x \in[0,1]\end{cases}
e pede para verificar se S(x) é um spline cúbico normal.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há duas parcelas polinomiais: a peça à esquerda (para x\in[-1,0]) e a peça à direita (para x\in[0,1]).
  • Cada peça é um polinômio de grau 3 (cúbico).
  • O nó interior é x=0. Os extremos do domínio são x=-1 e x=1.
Pergunta que precisamos responder:
  • S(x) satisfaz as definições necessárias para ser (i) um spline cúbico (continuidade de ordem adequada nas junções) e (ii) um spline cúbico normal (condição natural nos extremos)?]

Passo 2

Relembrando o que precisamos verificar (aulas rápidas, sem enrolar):
  • Um spline cúbico numa partição com nós (neste caso nós -1,0,1) é uma função que em cada subintervalo é um polinômio de grau 3 e que tem continuidade das derivadas até a segunda ordem nos nós interiores. Ou seja, a função deve ser C^{2} em todo o domínio: continuidade de S, S' e S'' em x=0.
  • Um spline cúbico “normal” (também chamado “natural”) satisfaz, além disso, as condições de fronteira naturais: as segundas derivadas nas extremidades do domínio são zero, ou seja \,S''(-1)=0 e \,S''(1)=0.
Vamos então verificar: (A) continuidade em x=0 de S, S', S''; (B) se S''(-1)=0 e S''(1)=0.

Passo 3

Calcular derivadas das duas peças (explico como faço: a derivada de a x^{3} é 3a x^{2} e de b x^{2} é 2b x). Escrevo cada peça e suas derivadas.
Peça esquerda ( x\in[-1,0]):
S_{L}(x)=0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1.
Derivada primeira:
S_{L}'(x)=3\cdot0{,}5\,x^{2}+2\cdot1{,}5\,x=1{,}5\,x^{2}+3\,x.
Derivada segunda:
S_{L}''(x)=2\cdot1{,}5\,x+3=3\,x+3.
Peça direita ( x\in[0,1]):
S_{R}(x)=-0{,}5\,x^{3}+1{,}5\,x^{2}+1.
Derivada primeira:
S_{R}'(x)=3\cdot(-0{,}5)\,x^{2}+2\cdot1{,}5\,x=-1{,}5\,x^{2}+3\,x.
Derivada segunda:
S_{R}''(x)=2\cdot(-1{,}5)\,x+3=-3\,x+3.

Passo 4

Verificar continuidade (C^{0}, C^{1}, C^{2}) no nó x=0.
Valores das funções no nó:
S_{L}(0)=0{,}5\cdot0^{3}+1{,}5\cdot0^{2}+1=1,
S_{R}(0)=-0{,}5\cdot0^{3}+1{,}5\cdot0^{2}+1=1.
Logo S_{L}(0)=S_{R}(0), ou seja S é contínua em x=0.
Valores das derivadas primeiras no nó:
S_{L}'(0)=1{,}5\cdot0^{2}+3\cdot0=0,
S_{R}'(0)=-1{,}5\cdot0^{2}+3\cdot0=0.
Logo S_{L}'(0)=S_{R}'(0), ou seja S' é contínua em x=0.
Valores das derivadas segundas no nó:
S_{L}''(0)=3\cdot0+3=3,
S_{R}''(0)=-3\cdot0+3=3.
Logo S_{L}''(0)=S_{R}''(0), ou seja S'' é contínua em x=0.
Conclusão desta etapa: S é C^{2} no nó x=0. Portanto é um spline cúbico (grau 3 em cada intervalo e continuidade até a segunda derivada nos nós).

Passo 5

Verificar as condições naturais nos extremos x=-1 e x=1, isto é calcular S''(-1) e S''(1).
Usamos as expressões de S'' nas peças correspondentes.
No extremo esquerdo x=-1 usamos S_{L}''(x)=3x+3:
S''(-1)=S_{L}''(-1)=3\cdot(-1)+3= -3+3=0.
No extremo direito x=1 usamos S_{R}''(x)=-3x+3:
S''(1)=S_{R}''(1)=-3\cdot1+3= -3+3=0.
Portanto as segundas derivadas nas extremidades são zero, exatamente a condição natural.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Cada peça é polinomial de grau 3.
  • Há continuidade de S, S' e S'' em x=0 (nó interior) — ou seja S é C^{2} no domínio dividido pelos nós.
  • As condições de fronteira naturais são satisfeitas: S''(-1)=0 e S''(1)=0.
Logo S(x) é um spline cúbico e, por satisfazer as condições naturais, é um spline cúbico normal.

Resposta

Sim, S(x) é um spline cúbico normal.