e pergunta: a função f é integrável (no sentido de Riemann) em [0,\pi]? É pedido que a justificativa use um teorema (não somas de Riemann).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O domínio considerado implicitamente é o intervalo fechado [0,\pi].
Para x>0 a expressão é x\sin(1/x); em x=0 o valor é 0.
A questão pede afirmação e justificativa (usar um teorema).]
Passo 2
Verificar a continuidade de f em pontos de (0,\pi].
Explicação didática: se duas funções g e h são contínuas numa região, o produto g\cdot h também é contínuo ali. A função x\mapsto x é contínua em (0,\pi]. A função x\mapsto \sin(1/x) é composição de x\mapsto 1/x (contínua em x\ne0) com \sin (contínua em toda parte), logo é contínua em (0,\pi]. Portanto o produto
x\mapsto x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)
é contínuo em todo ponto de (0,\pi]. Conclusão: f é contínua em (0,\pi].
Passo 3
Verificar a continuidade de f em x=0.
Aqui precisamos mostrar que \displaystyle\lim_{x\to0^+} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0, porque f(0)=0. Vou usar o Teorema do Sanduíche (Squeeze theorem).
Mini-aula sobre o Teorema do Sanduíche: se duas funções u(x) e v(x) satisfazem u(x)\le w(x)\le v(x) numa vizinhança de um ponto a (exceto talvez em a), e \lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=L, então \lim_{x\to a}w(x)=L. É muito útil quando w(x) oscila entre duas coisas cujo limite conhecemos.
Aplicação aqui: para todo x\ne0 vale
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le 1.
Multiplicando por x\ge0 (para x>0) obtemos
- x \le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le x.
As funções -x e x têm limite 0 quando x\to0^+. Pelo Teorema do Sanduíche, segue que
\lim_{x\to0^+} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Como f(0)=0, o limite coincide com o valor da função em 0, logo f é contínua em x=0.
Passo 4
Concluir continuidade em todo o intervalo fechado.
Juntando os passos anteriores: f é contínua em (0,\pi] e contínua em 0. Portanto f é contínua em todo o intervalo fechado [0,\pi].
Passo 5
Usar o teorema que garante integrabilidade.
Mini-aula sobre o teorema usado: um teorema clássico de análise diz que toda função contínua num intervalo fechado e limitado [a,b] é Riemann integrável nesse intervalo. Intuição curta por trás do teorema: continuidade em [a,b] implica, por Heine–Cantor, que a função é uniformemente contínua; com uniformidade, pode-se escolher uma partição que torne a oscilação da função em cada subintervalo arbitrariamente pequena, o que faz a diferença entre soma superior e soma inferior menor que qualquer \varepsilon>0; isso é precisamente a condição de integrabilidade de Riemann.
Passo 6
Aplicar o teorema ao nosso caso e concluir.
Como f é contínua em todo o intervalo fechado [0,\pi] (Passo 4), pelo teorema citado f é Riemann integrável em [0,\pi]. Em palavras: a continuidade em [0,\pi] é a hipótese exigida pelo teorema que garante integrabilidade sem precisar calcular somas.