Dê um exemplo de função definida em [ 0,1 ] que não seja integrável. Justifique através das somas superiores e inferiores.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) dar um exemplo de função f:[0,1]\to\mathbb{R} que NÃO seja integrável (no sentido de Riemann) e (ii) justificar essa não-integrabilidade usando as somas superiores e inferiores.
Informações dadas / condição do problema:
O domínio é o intervalo [0,1].
A justificativa deve usar as definições de soma superior e soma inferior (ou seja, supremum e ínfimum em cada subintervalo de uma partição).
Passo 2
Vou apresentar a função clássica que serve exatamente para esse objetivo: a função de Dirichlet. Definição (essa fórmula vem direito do enunciado que eu escolhi para o exemplo):
Explicando em palavras: f(x) vale 1 se x for racional e vale 0 se x for irracional. Essa função só toma os valores 0 e 1 e está bem definida em todo [0,1].]
Passo 3
Agora lembro as definições que vamos usar (passo-a-passo e com explicação):
Aqui M_k é o maior valor que f atinge (ou o menor número que é maior ou igual a todos os valores) no intervalo I_k, e m_k é o menor valor que f atinge (ou o maior número que é menor ou igual a todos os valores) no intervalo I_k.
A soma superior relativa a P é
U(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\,(x_k-x_{k-1}).
A soma inferior relativa a P é
L(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\,(x_k-x_{k-1}).
A definição de integrabilidade (Riemann) usa:
\overline{\int_0^1} f = \inf_{P} U(f,P),\qquad \underline{\int_0^1} f = \sup_{P} L(f,P).
A função f é Riemann-integrável se, e somente se,
\overline{\int_0^1} f = \underline{\int_0^1} f.
Passo 4
Prossigo para avaliar M_k e m_k para a função de Dirichlet em um subintervalo arbitrário I_k=[a,b]\subset[0,1]. O argumento-chave é que os números racionais e irracionais são densos em \mathbb{R}, ou seja: em qualquer intervalo (a,b) existe pelo menos um racional e pelo menos um irracional.
Breve justificativa da densidade (para ficar bem concreto):
Racionais densos: dado a<b, escolha um inteiro n tal que \tfrac{1}{n}<b-a (isso existe pelo princípio arquimediano). Então existe um inteiro m com a<\tfrac{m}{n}<b. Assim \tfrac{m}{n} é racional e está no intervalo.
Irracionais densos: escolha um racional q\in(a,b) (pela densidade dos racionais). Então q+\tfrac{b-a}{2\sqrt{2}} é um número dentro de (a,b) (pois o deslocamento é menor que \tfrac{b-a}{2}) e é irracional porque soma de racional com número irracional (\tfrac{b-a}{2\sqrt{2}}) é irracional. Logo existe irracional em (a,b).
Como consequência direta:
Em qualquer subintervalo I_k há pontos racionais (onde f=1), logo \sup_{x\in I_k} f(x)=1. Assim M_k=1.
Em qualquer subintervalo I_k há pontos irracionais (onde f=0), logo \inf_{x\in I_k} f(x)=0. Assim m_k=0.
Passo 5
Com os resultados do passo anterior, para qualquer partição P de [0,1] temos, para cada k,
porque a soma dos comprimentos dos subintervalos é 1. E
L(f,P)=\sum_{k=1}^n 0\cdot (x_k-x_{k-1})=0.
Note que isso vale para qualquer partição P: não importa quão fina a partição seja, U(f,P)=1 e L(f,P)=0.
Passo 6
Agora passo para os integradores superior e inferior:
\overline{\int_0^1} f = \inf_P U(f,P)=\inf_P 1 = 1,
\underline{\int_0^1} f = \sup_P L(f,P)=\sup_P 0 = 0.
Como \overline{\int_0^1} f \neq \underline{\int_0^1} f (temos 1\neq 0), pela definição a função f NÃO é Riemann-integrável em [0,1].
Intuição final: em qualquer intervalo, por menor que seja, f assume simultaneamente valores 0 e 1; portanto não há maneira de aproximar o “área” única por somas superiores e inferiores convergentes para o mesmo número.
Passo 7
Comentário didático rápido e dica de prova para a prova/avaliação: este exemplo é o mais direto para mostrar não-integrabilidade via somas superiores/inferiores. Em exames é comum usar justamente a densidade de racionais e irracionais para concluir que M_k e m_k são constantes em todos os subintervalos. Uma forma alternativa (mais avançada) de ver que a função não é integrável é notar que ela é descontínua em todo ponto de [0,1]; há um teorema que diz que uma função contínua quase em todo ponto (conjunto de pontos de descontinuidade de medida zero) pode ser Riemann-integrável — mas aqui as descontinuidades ocupam todo o intervalo, então não é integrável. Se estiver nervoso para a prova: memorize a construção e o argumento das somas superiores/inferiores, é o caminho mais direto.