Dê um exemplo de função definida em [ 0,1 ] que não seja integrável. Justifique através das somas superiores e inferiores.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) dar um exemplo de função f:[0,1]\to\mathbb{R} que NÃO seja integrável (no sentido de Riemann) e (ii) justificar essa não-integrabilidade usando as somas superiores e inferiores.
Informações dadas / condição do problema:
  • O domínio é o intervalo [0,1].
  • A justificativa deve usar as definições de soma superior e soma inferior (ou seja, supremum e ínfimum em cada subintervalo de uma partição).

Passo 2

Vou apresentar a função clássica que serve exatamente para esse objetivo: a função de Dirichlet. Definição (essa fórmula vem direito do enunciado que eu escolhi para o exemplo):
f(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q}\cap[0,1],\\[4pt] 0, & x\in([0,1]\setminus\mathbb{Q}). \end{cases}
Explicando em palavras: f(x) vale 1 se x for racional e vale 0 se x for irracional. Essa função só toma os valores 0 e 1 e está bem definida em todo [0,1].]

Passo 3

Agora lembro as definições que vamos usar (passo-a-passo e com explicação):
  • Uma partição P de [0,1] é um conjunto de pontos
P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\quad\text{com}\quad 0=x_0<x_1<\dots<x_n=1.
  • Em cada subintervalo I_k=[x_{k-1},x_k] definimos
M_k=\sup_{x\in I_k} f(x),\qquad m_k=\inf_{x\in I_k} f(x).
Aqui M_k é o maior valor que f atinge (ou o menor número que é maior ou igual a todos os valores) no intervalo I_k, e m_k é o menor valor que f atinge (ou o maior número que é menor ou igual a todos os valores) no intervalo I_k.
  • A soma superior relativa a P é
U(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\,(x_k-x_{k-1}).
  • A soma inferior relativa a P é
L(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\,(x_k-x_{k-1}).
  • A definição de integrabilidade (Riemann) usa:
\overline{\int_0^1} f = \inf_{P} U(f,P),\qquad \underline{\int_0^1} f = \sup_{P} L(f,P).
A função f é Riemann-integrável se, e somente se,
\overline{\int_0^1} f = \underline{\int_0^1} f.

Passo 4

Prossigo para avaliar M_k e m_k para a função de Dirichlet em um subintervalo arbitrário I_k=[a,b]\subset[0,1]. O argumento-chave é que os números racionais e irracionais são densos em \mathbb{R}, ou seja: em qualquer intervalo (a,b) existe pelo menos um racional e pelo menos um irracional.
Breve justificativa da densidade (para ficar bem concreto):
  • Racionais densos: dado a<b, escolha um inteiro n tal que \tfrac{1}{n}<b-a (isso existe pelo princípio arquimediano). Então existe um inteiro m com a<\tfrac{m}{n}<b. Assim \tfrac{m}{n} é racional e está no intervalo.
  • Irracionais densos: escolha um racional q\in(a,b) (pela densidade dos racionais). Então q+\tfrac{b-a}{2\sqrt{2}} é um número dentro de (a,b) (pois o deslocamento é menor que \tfrac{b-a}{2}) e é irracional porque soma de racional com número irracional ( \tfrac{b-a}{2\sqrt{2}}) é irracional. Logo existe irracional em (a,b).
Como consequência direta:
  • Em qualquer subintervalo I_k há pontos racionais (onde f=1), logo \sup_{x\in I_k} f(x)=1. Assim M_k=1.
  • Em qualquer subintervalo I_k há pontos irracionais (onde f=0), logo \inf_{x\in I_k} f(x)=0. Assim m_k=0.

Passo 5

Com os resultados do passo anterior, para qualquer partição P de [0,1] temos, para cada k,
M_k=1,\qquad m_k=0.
Logo as somas superior e inferior ficam
U(f,P)=\sum_{k=1}^n 1\cdot (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})=1,
porque a soma dos comprimentos dos subintervalos é 1. E
L(f,P)=\sum_{k=1}^n 0\cdot (x_k-x_{k-1})=0.
Note que isso vale para qualquer partição P: não importa quão fina a partição seja, U(f,P)=1 e L(f,P)=0.

Passo 6

Agora passo para os integradores superior e inferior:
\overline{\int_0^1} f = \inf_P U(f,P)=\inf_P 1 = 1,
\underline{\int_0^1} f = \sup_P L(f,P)=\sup_P 0 = 0.
Como \overline{\int_0^1} f \neq \underline{\int_0^1} f (temos 1\neq 0), pela definição a função f NÃO é Riemann-integrável em [0,1].
Intuição final: em qualquer intervalo, por menor que seja, f assume simultaneamente valores 0 e 1; portanto não há maneira de aproximar o “área” única por somas superiores e inferiores convergentes para o mesmo número.

Passo 7

Comentário didático rápido e dica de prova para a prova/avaliação: este exemplo é o mais direto para mostrar não-integrabilidade via somas superiores/inferiores. Em exames é comum usar justamente a densidade de racionais e irracionais para concluir que M_k e m_k são constantes em todos os subintervalos. Uma forma alternativa (mais avançada) de ver que a função não é integrável é notar que ela é descontínua em todo ponto de [0,1]; há um teorema que diz que uma função contínua quase em todo ponto (conjunto de pontos de descontinuidade de medida zero) pode ser Riemann-integrável — mas aqui as descontinuidades ocupam todo o intervalo, então não é integrável. Se estiver nervoso para a prova: memorize a construção e o argumento das somas superiores/inferiores, é o caminho mais direto.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q}\cap[0,1],\\[4pt] 0, & x\in([0,1]\setminus\mathbb{Q}) \end{cases}]

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