Calcule a integral usando a noção de área:
\int_{-1}^{3}|4-2 x| d x
\int_{-1}^{3}|4-2 x| d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Usos e informações dadas:
- A função dentro do valor absoluto é
. - O intervalo de integração é de
até . - O pedido é calcular a integral “usando a noção de área” (ou seja, interpretar
como a distância vertical da reta ao eixo e somar as áreas correspondentes no intervalo).
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e onde a função muda de sinal. Regra do valor absoluto: para qualquer função
Portanto, para integrar
é negativo ou positivo no intervalo
. Vamos achar o ponto em que
:
Isso significa que a reta
cruza o eixo
em
. Então dividimos o intervalo em
e
: em
a função
é não negativa e em
é negativa.]
Passo 3
Calcular os valores da função nos pontos relevantes para montar as áreas geométricas:
Resumo (peguei estes números avaliando
nos pontos):
- Em
: . - Em
: (ponto de cruzamento). - Em
: (abaixo do eixo ).
Passo 4
Área no trecho
. Aqui
, então
e a área pedida é a área sob a reta acima do eixo
entre
e
. A figura formada é um trapézio com bases verticais de alturas
e
e base horizontal de comprimento
Fórmula da área do trapézio: se as alturas (bases paralelas) são
e
e a distância entre elas é
, então
Aqui
,
,
. Logo
Passo 5
Área no trecho
. Aqui
, então
. Geometricamente, entre
e
a reta está abaixo do eixo
; a área positiva dada por
é a área da figura entre a reta e o eixo, que é um triângulo com base
e altura igual a
(em
a altura é
, em
a altura absoluta é
). Fórmula da área do triângulo: se base
e altura
,
Aqui
e
, então
Passo 6
Somando as áreas dos dois trechos — que é exatamente o valor da integral de
em
:
(Como checagem alternativa: isso coincide com dividir a integral e calcular antiderivadas:
que também dá
.)