Calcule a integral usando a noção de área:
\int_{-1}^{3}|4-2 x| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-1}^{3} |4-2x|\,dx
Usos e informações dadas:
  • A função dentro do valor absoluto é 4-2x.
  • O intervalo de integração é de x=-1 até x=3.
  • O pedido é calcular a integral “usando a noção de área” (ou seja, interpretar |4-2x| como a distância vertical da reta y=4-2x ao eixo x e somar as áreas correspondentes no intervalo).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e onde a função muda de sinal. Regra do valor absoluto: para qualquer função f(x)\), \[|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\ge 0,\\[4pt] -f(x), & \text{se } f(x)<0. \end{cases}
Portanto, para integrar |4-2x|\] precisamos saber onde \(4-2x é negativo ou positivo no intervalo [-1,3]. Vamos achar o ponto em que 4-2x=0:
4-2x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Isso significa que a reta y=4-2x cruza o eixo x em x=2. Então dividimos o intervalo em [-1,2] e [2,3]: em [-1,2] a função 4-2x é não negativa e em [2,3] é negativa.]

Passo 3

Calcular os valores da função nos pontos relevantes para montar as áreas geométricas:
y(-1)=4-2(-1)=4+2=6,
y(2)=4-2\cdot2=4-4=0,
y(3)=4-2\cdot3=4-6=-2.
Resumo (peguei estes números avaliando 4-2x nos pontos):
  • Em x=-1: y=6.
  • Em x=2: y=0 (ponto de cruzamento).
  • Em x=3: y=-2 (abaixo do eixo x).

Passo 4

Área no trecho [-1,2]. Aqui 4-2x\ge 0, então |4-2x|=4-2x e a área pedida é a área sob a reta acima do eixo x entre x=-1 e x=2. A figura formada é um trapézio com bases verticais de alturas y(-1)=6 e y(2)=0 e base horizontal de comprimento
\text{base} = 2-(-1)=3.
Fórmula da área do trapézio: se as alturas (bases paralelas) são a e b e a distância entre elas é h, então
\text{Área do trapézio} = h\cdot\frac{a+b}{2}.Áé
Aqui h=3, a=6, b=0. Logo
\text{Área}_{[-1,2]} = 3\cdot\frac{6+0}{2}=3\cdot3=9.Á

Passo 5

Área no trecho [2,3]. Aqui 4-2x<0, então |4-2x|=-(4-2x)=2x-4. Geometricamente, entre x=2 e x=3 a reta está abaixo do eixo x; a área positiva dada por |4-2x| é a área da figura entre a reta e o eixo, que é um triângulo com base
\text{base} = 3-2=1
e altura igual a |y(3)|=2 (em x=2 a altura é 0, em x=3 a altura absoluta é 2). Fórmula da área do triângulo: se base b e altura h,
\text{Área do triângulo} = \frac{b\cdot h}{2}.Áâ
Aqui b=1 e h=2, então
\text{Área}_{[2,3]} = \frac{1\cdot 2}{2}=1.Á

Passo 6

Somando as áreas dos dois trechos — que é exatamente o valor da integral de |4-2x| em [-1,3]:
\int_{-1}^{3} |4-2x|\,dx = \text{Área}_{[-1,2]} + \text{Área}_{[2,3]} = 9 + 1 = 10.ÁÁ
(Como checagem alternativa: isso coincide com dividir a integral e calcular antiderivadas:
\int_{-1}^{2} (4-2x)\,dx + \int_{2}^{3} (2x-4)\,dx
que também dá 9+1=10.)

Resposta

10

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