1. Seja
f(x)= \begin{cases}2 x, & 0 \leq x<0,5 \\\\ 2 x-1, & 0,5 \leq x<1\end{cases}
A sequência f(0,2), f(f(0,2)), f(f(f(0,2))), \ldots converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 2x, & 0 \le x < 0,5,\\\\ 2x - 1, & 0,5 \le x < 1, \end{cases}
e pede para estudar a sequência \;x_0 = 0,2,\;x_{n+1} = f(x_n)\;.
O conteúdo aqui é a iteração da “dobragem módulo 1” no intervalo [0,1). Vamos calcular alguns termos para ver se ela converge ou entra num ciclo.

Passo 2

Calculamos
x_1 = f(x_0) = f(0,2).
Como 0,2 < 0,5, usamos o ramo f(x)=2x, então
x_1 = 2 \times 0,2 = 0,4.

Passo 3

Agora
x_2 = f(x_1) = f(0,4).
Como 0,4 < 0,5, de novo f(x)=2x, então
x_2 = 2 \times 0,4 = 0,8.

Passo 4

Em seguida
x_3 = f(x_2) = f(0,8).
Agora 0,8 \ge 0,5, usamos f(x)=2x-1, ficando
x_3 = 2 \times 0,8 - 1 = 1,6 - 1 = 0,6.

Passo 5

Ainda
x_4 = f(x_3) = f(0,6).
Como 0,6 \ge 0,5, de novo f(x)=2x-1, então
x_4 = 2 \times 0,6 - 1 = 1,2 - 1 = 0,2.

Passo 6

Vimos que
x_0 = 0,2,\;x_1 = 0,4,\;x_2 = 0,8,\;x_3 = 0,6,\;x_4 = 0,2,\;\dots
ou seja, a sequência entra num ciclo de período 4, percorrendo os valores \{0,2,\,0,4,\,0,8,\,0,6\}. Como não se aproxima de um único valor, ela não converge.

Resposta

A sequência não converge, pois forma um ciclo periódico de período 4.

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