1. Considere a sequência
\begin{aligned} & a_{1}=\sqrt{6} \\\ & a_{2}=\sqrt{6+\sqrt{6}} \\\ & a_{3}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}} \\\ & a_{4}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}} \end{aligned}
(a) Encontre uma fórmula de recursão para a_{n+1}.
(b) Supondo que a sequência convirja, use o método do Exemplo 10 para encontrar o limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
\begin{aligned} a_{1}&=\sqrt{6},\\\ a_{2}&=\sqrt{6+\sqrt{6}},\\\ a_{3}&=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}},\;\text{etc.} \end{aligned}
Estamos em um tópico de sequências recursivas e limites. No item (a) queremos uma fórmula que expresse a_{n+1} em função de a_{n}. No item (b) vamos supor que \{a_n\} converge e usar o método clássico de igualar o limite à expressão que gera a sequência.

Passo 2

Para passar de a_{n} a a_{n+1} basta notar que, em todos os termos, adicionamos um \sqrt{6+\cdots}. Logo, a definição recursiva é
a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}}.

Passo 3

Supondo que a sequência converge, seja
L = \lim_{n\to\infty}a_{n}.
Como a_{n+1} e a_n tendem ao mesmo limite, temos
L = \sqrt{6 + L}.

Passo 4

Elevando ao quadrado obtemos
L^2 = 6 + L \quad\Longrightarrow\quad L^2 - L - 6 = 0.
As raízes dessa equação são
L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
isto é, L=3 ou L=-2. Como todos os a_n são positivos, o limite deve ser
L = 3.

Resposta

(a) \displaystyle a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}}.
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = 3.

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