A sequência f(0,2), f(f(0,2)), f(f(f(0,2))), \ldots converge? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 2x, & 0 \le x < 0,5,\\\\ 2x - 1, & 0,5 \le x < 1, \end{cases}
e pede para estudar a sequência \;x_0 = 0,2,\;x_{n+1} = f(x_n)\;.
O conteúdo aqui é a iteração da “dobragem módulo 1” no intervalo [0,1). Vamos calcular alguns termos para ver se ela converge ou entra num ciclo.
ou seja, a sequência entra num ciclo de período 4, percorrendo os valores \{0,2,\,0,4,\,0,8,\,0,6\}. Como não se aproxima de um único valor, ela não converge.
Resposta
A sequência não converge, pois forma um ciclo periódico de período 4.