Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leq 2 \\\ a x+b, & x>2\end{cases}
Determine os valores de a e b para que f(x) seja contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le2,\\\ ax+b, & x>2, \end{cases}
e pede que f seja contínua em \mathbb{R}. Como cada ramo é polinomial, a única garantia de descontinuidade pode ocorrer em x=2. Assim, devemos igualar o limite pela esquerda, o valor de f(2) e o limite pela direita.

Passo 2

Para x\le2 vale f(x)=x^2, logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^2=4.

Passo 3

Para x>2 vale f(x)=ax+b, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=2a+b.

Passo 4

Impondo continuidade em x=2 temos
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x) \quad\Longrightarrow\quad 4=2a+b.

Resposta

b=4-2a, isto é, todos os pares (a,b) que satisfazem b=4-2a.

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