Verifique, pelo TVI, se a equação
\cos x=x
admite solução no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI), se existe solução da equação
\cos x = x
no intervalo [0,1]. O conteúdo é TVI e continuidade de funções.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \cos x - x.
Sabemos que \cos x e x são contínuas em \mathbb{R}, logo f(x) é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0,
f(1) = \cos(1) - 1 \approx 0,5403 - 1 = -0,4597 < 0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, há troca de sinal em [0,1].

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua em [0,1] e f(0)\cdot f(1)<0, então existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, \cos c = c.

Resposta

Existe pelo menos uma solução c\in(0,1) da equação \cos x = x segundo o TVI.

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