Classifique o tipo de descontinuidade de
f(x)=\tan x
no ponto x=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar o tipo de descontinuidade da função
f(x)=\tan x
no ponto x=\frac{\pi}{2}. Para isso, vamos usar conceitos de limite e os tipos de descontinuidade: removível, de salto, infinita (assimptótica) ou essencial oscilatória.

Passo 2

Escrevendo \tan x como razão, temos
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
No ponto x=\frac{\pi}{2}, o numerador \sin x tende a \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 enquanto o denominador \cos x tende a \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. Isso indica possibilidade de limite infinito.

Passo 3

Vamos analisar os limites lateralmente:
– Quando x\to\frac{\pi}{2}^-, temos \cos x>0 pequeno, então
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \;\longrightarrow\; +\infty.
– Quando x\to\frac{\pi}{2}^+, temos \cos x<0 pequeno, então
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \;\longrightarrow\; -\infty.
Como os limites laterais são infinitos (de sinais opostos) e não existe limite finito comum, a descontinuidade não é removível nem de salto finito.

Resposta

A função \tan x apresenta em x=\tfrac{\pi}{2} uma descontinuidade de tipo infinito (assimptótica).

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