Encontre d^{2} y / d x^{2} . \square \(y=\sin \left(3 x^{2}\right))

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Dado: y=\sin\!\left(3x^{2}\right).
  • Pedido: encontrar \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, isto é, a segunda derivada de y em relação a x.

Passo 2

Ideia geral e a regra principal que vamos usar (explicação didática do Chain Rule).
  • Quando uma função é composição de uma função exterior e uma interior, isto é, y=f(g(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia (chain rule):
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  • Aqui:
    • f é a função exterior (dependendo de uma variável intermediária u);
    • g é a função interior (que depende de x);
    • f'(u) é a derivada de f em relação a u;
    • g'(x) é a derivada de g em relação a x.
  • Exemplo rápido e leve para fixar: se y=\sin(2x) então coloque f(u)=\sin u e g(x)=2x. Assim
\frac{dy}{dx}=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Isto mostra como aplicar a regra da cadeia em casos simples.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter \dfrac{dy}{dx}.
  • Identificar as funções:
    • Função exterior: f(u)=\sin u.
    • Função interior: u=g(x)=3x^{2}.
  • Derivadas necessárias:
    • f'(u)=\cos u.
    • g'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x (regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\cos\!\big(3x^{2}\big)\cdot 6x.
  • Simplificando a ordem dos factores:
\frac{dy}{dx}=6x\cos\!\big(3x^{2}\big).

Passo 4

Vamos precisar da regra do produto para diferenciar \dfrac{dy}{dx} e explicar essa regra.
  • A expressão \dfrac{dy}{dx}=6x\cos(3x^{2}) é um produto de duas funções de x: p(x)=6x e q(x)=\cos(3x^{2}).
  • Regra do produto: se h(x)=p(x)q(x) então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
  • Exemplo curto: se h(x)=x\sin x então h'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.

Passo 5

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} aplicando a regra do produto e novamente a regra da cadeia.
  • Tome p(x)=6x e q(x)=\cos\!\big(3x^{2}\big).
  • Calcule p'(x):
p'(x)=\frac{d}{dx}(6x)=6.
  • Calcule q'(x) usando a regra da cadeia:
    • Função exterior para q: r(u)=\cos u com r'(u)=-\sin u.
    • Função interior para q: u=3x^{2} com u'=6x.
    • Logo
    q'(x)=r'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=-\sin\!\big(3x^{2}\big)\cdot 6x = -6x\sin\!\big(3x^{2}\big).
  • Agora aplique a regra do produto:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=p'(x)q(x)+p(x)q'(x) =6\cdot\cos\!\big(3x^{2}\big)+6x\cdot\big(-6x\sin\!\big(3x^{2}\big)\big).
  • Simplificando os termos:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6\cos\!\big(3x^{2}\big)-36x^{2}\sin\!\big(3x^{2}\big).

Passo 6

Forma factorizada e checagem rápida.
  • Pode-se colocar um fator comum 6:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6\Big(\cos\!\big(3x^{2}\big)-6x^{2}\sin\!\big(3x^{2}\big)\Big).
  • Pequena checagem mental: unidades e dependência em x fazem sentido; termos surgem de produto e cadeia como esperado.

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6\cos\!\big(3x^{2}\big)-36x^{2}\sin\!\big(3x^{2}\big)

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