Encontre
)
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Dado:
. - Pedido: encontrar
, isto é, a segunda derivada de em relação a .
Passo 2
Ideia geral e a regra principal que vamos usar (explicação didática do Chain Rule).
- Quando uma função é composição de uma função exterior e uma interior, isto é,
, a derivada é dada pela regra da cadeia (chain rule):
- Aqui:
-
é a função exterior (dependendo de uma variável intermediária ); -
é a função interior (que depende de ); -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
-
- Exemplo rápido e leve para fixar: se
então coloque e . Assim
Isto mostra como aplicar a regra da cadeia em casos simples.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter
.
- Identificar as funções:
- Função exterior:
. - Função interior:
.
- Função exterior:
- Derivadas necessárias:
-
. -
(regra de potência: ).
-
- Aplicando a regra da cadeia:
- Simplificando a ordem dos factores:
Passo 4
Vamos precisar da regra do produto para diferenciar
e explicar essa regra.
- A expressão
é um produto de duas funções de : e . - Regra do produto: se
então
- Exemplo curto: se
então .
Passo 5
Calcular a segunda derivada
aplicando a regra do produto e novamente a regra da cadeia.
- Tome
e . - Calcule
:
- Calcule
usando a regra da cadeia: - Função exterior para
: com . - Função interior para
: com . - Logo
- Função exterior para
- Agora aplique a regra do produto:
- Simplificando os termos:
Passo 6
Forma factorizada e checagem rápida.
- Pode-se colocar um fator comum
:
- Pequena checagem mental: unidades e dependência em
fazem sentido; termos surgem de produto e cadeia como esperado.