Seja & \{(1,1),(1,-1)\} e \beta=\{(-1,1),(0,2)\} base de \mathbb{R}^{2}
(3) \mathrm{Se}(w)_{\alpha}=(3,1) calcule (w)_{\beta} e w.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2 e pede duas coisas. Dados:
\alpha=\{(1,1),(1,-1)\}, \qquad \beta=\{(-1,1),(0,2)\},
e é dito que as coordenadas de w na base \alpha são
(w)_{\alpha}=(3,1).
As perguntas são:
  1. calcular (w)_{\beta} (as coordenadas de w na base \beta), e
  2. calcular w (o vetor em coordenadas canônicas/ padrão em \mathbb{R}^2).

Passo 2

Entendendo o que significa (w)_{\alpha}=(3,1). Se \alpha=\{v_1,v_2\} e (w)_{\alpha}=(a,b), isso significa exatamente que
w = a v_1 + b v_2.
Aqui a e b são números escalares (as coordenadas), v_1 e v_2 são os vetores da base e a soma é a combinação linear. Cada multiplicação e soma é feita componente a componente: se v_1=(v_{11},v_{12}) e v_2=(v_{21},v_{22}), então
w=(a v_{11}+b v_{21},\; a v_{12}+b v_{22}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: em \alpha temos v_1=(1,1) e v_2=(1,-1), e as coordenadas são a=3 e b=1. Então
w = 3\cdot(1,1) + 1\cdot(1,-1).
Calculemos componente a componente:
3\cdot(1,1)=(3,3),\qquad 1\cdot(1,-1)=(1,-1).
Somando:
w=(3+1,\;3+(-1))=(4,2).
Portanto o vetor w em coordenadas canônicas é (4,2).

Passo 4

Agora queremos (w)_{\beta}. Seja \beta=\{u_1,u_2\} com u_1=(-1,1) e u_2=(0,2). Precisamos encontrar escalares c_1 e c_2 tais que
w = c_1 u_1 + c_2 u_2.
Substituímos w=(4,2), u_1=(-1,1), u_2=(0,2) e escrevemos as equações componente a componente. Isso gera um sistema linear para c_1,c_2.

Passo 5

Montando o sistema:
Da combinação linear
c_1(-1,1) + c_2(0,2) = (4,2),
temos nas componentes:
\begin{cases} - c_1 + 0\cdot c_2 = 4,\\[4pt] c_1 + 2 c_2 = 2. \end{cases}
Da primeira equação obtemos diretamente
- c_1 = 4 \implies c_1 = -4.
Substituindo c_1=-4 na segunda:
-4 + 2 c_2 = 2 \implies 2 c_2 = 6 \implies c_2 = 3.]

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida recompondo:
-4\cdot(-1,1) + 3\cdot(0,2) = (4,-4) + (0,6) = (4,2),
que é exatamente w. Portanto as coordenadas encontradas estão corretas.

Resposta

(w)_{\beta}=(-4,3)
w=(4,2)

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