Seja &
e
base de
(3)
calcule
e
.
(3)
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
e pede duas coisas. Dados:
e é dito que as coordenadas de
na base
são
As perguntas são:
- calcular
(as coordenadas de na base ), e - calcular
(o vetor em coordenadas canônicas/ padrão em ).
Passo 2
Entendendo o que significa
. Se
e
, isso significa exatamente que
Aqui
e
são números escalares (as coordenadas),
e
são os vetores da base e a soma é a combinação linear. Cada multiplicação e soma é feita componente a componente: se
e
, então
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: em
temos
e
, e as coordenadas são
e
. Então
Calculemos componente a componente:
Somando:
Portanto o vetor
em coordenadas canônicas é
.
Passo 4
Agora queremos
. Seja
com
e
. Precisamos encontrar escalares
e
tais que
Substituímos
,
,
e escrevemos as equações componente a componente. Isso gera um sistema linear para
.
Passo 5
Montando o sistema:
Da combinação linear
Da combinação linear
temos nas componentes:
Da primeira equação obtemos diretamente
Substituindo
na segunda:
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida recompondo:
que é exatamente
. Portanto as coordenadas encontradas estão corretas.