O objetivo é encontrar todas as tuplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) que satisfazem essas três equações simultaneamente.
Passo 2
Vamos usar eliminação por linhas (método de Gauss) — que transforma o sistema numa forma escalonada através de operações elementares em linhas. Primeiro escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as primeiras cinco colunas são os coeficientes de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\, e a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes.]
Passo 3
Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (entrada \,1 da primeira linha, coluna de \,x_{1}\,).
Faço as operações (essas são operações elementares: somar múltiplos de uma linha a outra — elas preservam o conjunto de soluções):
Explicando: pivôs são entradas principais onde “fixamos” uma variável para eliminar essa variável nas outras linhas; ter pivôs em colunas diferentes indica variáveis dependentes, e colunas sem pivô correspondem a variáveis livres.]
Passo 6
Elimino as componentes das colunas de pivô nas linhas acima para alcançar a forma escalonada reduzida (ou próxima dela). Primeiro elimino o termo 2 em \,x_{3}\, na primeira linha usando R_{2}:
Observação sobre variáveis livres: a coluna de \,x_{2}\, não tem pivô — logo \,x_{2}\, é livre. A coluna de \,x_{5}\, também não tem pivô — então \,x_{5}\, é livre. Isso significa que temos duas variáveis paramétricas: podemos definir parâmetros para elas para descrever todas as soluções.
com s,t\in\mathbb{R}. Aqui s descreve o grau de liberdade da variável \,x_{2}\, e t descreve o grau de liberdade da variável \,x_{5}\,. Se quiseres um exemplo rápido: para s=0,t=0 obtemos a solução (1,0,2,3,0); para s=1,t=-1 obtemos (-3,1,1,1,-1) — ambos satisfazem as três equações.