Sendo
e
definidos por
e
, determinar : Ker,
, uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
Passo 1
O enunciado dá as transformações lineares
e pede, para
: o núcleo (Ker), a imagem (Im), uma base e a dimensão dessas subespaços, e a transformação inversa (se existir). As informações relevantes fornecidas são:
,
e
. Neste problema vamos trabalhar apenas com
e sua composição
.
Passo 2
Calcular
significa compor
consigo mesma:
Primeiro aplicamos
:
Agora aplicamos
novamente ao resultado:
Portanto
Uma visão matricial ajuda a intuir:
corresponde à matriz
logo
corresponde a
:
o que dá a mesma regra
.]
Passo 3
Definição e cálculo do núcleo. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são levados ao vetor zero:
Usando
, impomos
Isto dá o sistema de equações
Daí
e
. Logo o único vetor no núcleo é o vetor zero, isto é
Comentário didático: quando ambos componentes devem ser zero, resolvemos cada equação separadamente; como
implica
, não há solução não-trivial.
Passo 4
Definição e cálculo da imagem. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que aparecem como saída:
Queremos ver quais vetores
podem ser escritos como
. Dado um
, escolha
e
. Como
para todo
, qualquer
pode ser obtido. Portanto
Comentário didático: mostrar que todo vetor do espaço está na imagem prova que a imagem é o espaço todo. Aqui a divisibilidade por
em
garante isso.
Passo 5
Dimensões e teorema posto-nulo (rank–nullity). O teorema diz que, para uma transformação linear de
,
Encontramos
, portanto
. Como
, temos
. De fato
, conforme o teorema.
Passo 6
Encontrar uma base para a imagem. Como
, uma base natural é a base canônica
Podemos verificar que ambos são imagens:
e
. Alternativamente, as colunas da matriz
, que são
e
, também geram a imagem; porém a base canônica é mais simples.
Passo 7
Existência da inversa e construção explícita. Uma transformação linear tem inversa se, e somente se, for bijetora; matricialmente isto equivale ao determinante da matriz ser diferente de zero. Para
temos
Logo
é invertível. O inverso da matriz diagonal é obtido invertendo cada entrada da diagonal:
Assim a transformação inversa age como
Verificação rápida:
.]
Resposta
uma base da imagem: