Sendo \mathrm{F}, \mathrm{G} e \mathrm{H} \in \mathrm{L}\left(\mathrm{R}^{2}\right) definidos por \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, 2 \mathrm{y}), \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{y}, \mathrm{x}+\mathrm{y}) e \mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(0, \mathrm{x}), determinar : Ker, \operatorname{Im}, uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
\mathrm{F}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares \mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H}\in L(\mathbb{R}^2) e pede, para \mathrm{F}^2: o núcleo (Ker), a imagem (Im), uma base e a dimensão dessas subespaços, e a transformação inversa (se existir). As informações relevantes fornecidas são:
\mathrm{F}(x,y)=(x,2y), \mathrm{G}(x,y)=(y,x+y) e \mathrm{H}(x,y)=(0,x). Neste problema vamos trabalhar apenas com \mathrm{F} e sua composição \mathrm{F}^2.

Passo 2

Calcular \mathrm{F}^2 significa compor \mathrm{F} consigo mesma:
\mathrm{F}^2(x,y)=\mathrm{F}(\mathrm{F}(x,y)).
Primeiro aplicamos \mathrm{F}:
\mathrm{F}(x,y)=(x,2y).
Agora aplicamos \mathrm{F} novamente ao resultado:
\mathrm{F}(x,2y)=(x,2\cdot(2y))=(x,4y).
Portanto
\mathrm{F}^2(x,y)=(x,4y).
Uma visão matricial ajuda a intuir: \mathrm{F} corresponde à matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
logo \mathrm{F}^2 corresponde a A^2:
A^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
o que dá a mesma regra \mathrm{F}^2(x,y)=(x,4y).]

Passo 3

Definição e cálculo do núcleo. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são levados ao vetor zero:
\ker(\mathrm{F}^2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \mathrm{F}^2(x,y)=(0,0)\}.
Usando \mathrm{F}^2(x,y)=(x,4y), impomos
(x,4y)=(0,0).
Isto dá o sistema de equações
x=0,\qquad 4y=0.
Daí x=0 e y=0. Logo o único vetor no núcleo é o vetor zero, isto é
\ker(\mathrm{F}^2)=\{(0,0)\}.
Comentário didático: quando ambos componentes devem ser zero, resolvemos cada equação separadamente; como 4y=0 implica y=0, não há solução não-trivial.

Passo 4

Definição e cálculo da imagem. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que aparecem como saída:
\operatorname{Im}(\mathrm{F}^2)=\{(x,4y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Queremos ver quais vetores (u,v)\in\mathbb{R}^2 podem ser escritos como (x,4y). Dado um (u,v), escolha x=u e y=\dfrac{v}{4}. Como \dfrac{v}{4}\in\mathbb{R} para todo v, qualquer (u,v) pode ser obtido. Portanto
\operatorname{Im}(\mathrm{F}^2)=\mathbb{R}^2.
Comentário didático: mostrar que todo vetor do espaço está na imagem prova que a imagem é o espaço todo. Aqui a divisibilidade por 4 em \mathbb{R} garante isso.

Passo 5

Dimensões e teorema posto-nulo (rank–nullity). O teorema diz que, para uma transformação linear de \mathbb{R}^2,
\dim(\ker)+\dim(\operatorname{Im})=2.
Encontramos \ker(\mathrm{F}^2)=\{(0,0)\}, portanto \dim(\ker(\mathrm{F}^2))=0. Como \operatorname{Im}(\mathrm{F}^2)=\mathbb{R}^2, temos \dim(\operatorname{Im}(\mathrm{F}^2))=2. De fato 0+2=2, conforme o teorema.

Passo 6

Encontrar uma base para a imagem. Como \operatorname{Im}(\mathrm{F}^2)=\mathbb{R}^2, uma base natural é a base canônica
\{(1,0),(0,1)\}.
Podemos verificar que ambos são imagens: (1,0)=\mathrm{F}^2(1,0) e (0,1)=\mathrm{F}^2\big(0,\tfrac{1}{4}\big). Alternativamente, as colunas da matriz A^2, que são (1,0) e (0,4), também geram a imagem; porém a base canônica é mais simples.

Passo 7

Existência da inversa e construção explícita. Uma transformação linear tem inversa se, e somente se, for bijetora; matricialmente isto equivale ao determinante da matriz ser diferente de zero. Para A^2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix} temos
\det(A^2)=1\cdot 4=4\neq 0.
Logo \mathrm{F}^2 é invertível. O inverso da matriz diagonal é obtido invertendo cada entrada da diagonal:
(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Assim a transformação inversa age como
(\mathrm{F}^2)^{-1}(x,y)=\bigl(x,\tfrac{y}{4}\bigr).
Verificação rápida: \mathrm{F}^2\bigl((\mathrm{F}^2)^{-1}(x,y)\bigr)=\mathrm{F}^2\bigl(x,\tfrac{y}{4}\bigr)=(x,4\cdot\tfrac{y}{4})=(x,y).]

Resposta

\ker(\mathrm{F}^2)=\{(0,0)\}
\operatorname{Im}(\mathrm{F}^2)=\mathbb{R}^2
uma base da imagem: \{(1,0),(0,1)\}
\dim(\ker(\mathrm{F}^2))=0, \dim(\operatorname{Im}(\mathrm{F}^2))=2
(\mathrm{F}^2)^{-1}(x,y)=\bigl(x,\tfrac{y}{4}\bigr)

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