Seja \beta: I \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s.
Deduzir as equações de Frenet-Serret,
T^{\prime}=k N
N^{\prime}=-k T+\tau B
B^{\prime}=-\tau N
onde S=\{T, N, B\} é o referencial móvel de Frenet-Serret.

Passo 1

O enunciado dá uma curva \beta: I \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} parametrizada pelo comprimento de arco s. Ou seja, a variável da curva é s e vale \|\beta'(s)\|=1 para todo s\in I.
O que se pede: deduzir as equações de Frenet–Serret
T' = k\,N, \qquad N' = -k\,T + \tau\,B, \qquad B' = -\tau\,N,
onde S=\{T,N,B\} é o referencial móvel de Frenet–Serret, k é a curvatura e \tau a torção.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é parametrizada por comprimento de arco s, logo \beta'=\dfrac{d\beta}{ds} tem norma 1.
  • Precisamos introduzir e relacionar os vetores do referencial móvel: T (vetor tangente unitário), N (vetor normal principal unitário) e B (binormal unitário), e definir k e \tau.

Passo 2

Definição e primeira propriedade: vetor tangente unitário.
Definir o vetor tangente unitário
T(s)=\beta'(s).
Como a parametrização é por comprimento de arco, tem-se
\|T(s)\|=1\quad\text{para todo }s.
Diferenciando \|T\|^2= T\cdot T =1 em relação a s obtemos
2\,T\cdot T' = 0 \quad\Rightarrow\quad T\cdot T' = 0.
Isso mostra que T'(s) é sempre ortogonal a T(s) (a derivada do vetor de norma unitária é perpendicular ao próprio vetor).
Comentário didático curto: pensar em T como a direção da curva; T' mede a mudança dessa direção e, por isso, não tem componente na própria direção T.

Passo 3

Definição de curvatura k e do vetor normal N; derivação de T' = k N.
Definir a curvatura (positivo por construção)
k(s)=\|T'(s)\|.
Como T' é ortogonal a T, se k(s)\neq 0 podemos definir o vetor normal unitário
N(s)=\frac{T'(s)}{k(s)}.
Reescrevendo T'(s) em termos de N(s) obtemos imediatamente a primeira equação de Frenet–Serret:
T'(s)=k(s)\,N(s).
Explicação intuitiva: k mede o quanto a direção tangente gira por unidade de comprimento (quanto a curva “curva”), e N aponta a direção dessa curvatura.

Passo 4

Construção do binormal B e ortonormalidade do referencial.
Definir o binormal como o produto vetorial (orientação direita)
B(s)=T(s)\times N(s).
Mostra-se que \{T,N,B\} é um triângulo ortonormal:
  • T\cdot N=0 por construção.
  • \|B\|=\|T\times N\|=\|T\|\,\|N\|\sin 90^\circ=1.
  • B é ortogonal a T e a N por propriedade do produto vetorial.
Assim temos um referencial móvel ortonormal bem definido enquanto k(s)\neq0.

Passo 5

Expressar N'(s) como combinação linear dos vetores do referencial e determinar os coeficientes.
Como \{T,N,B\} é base ortonormal, podemos escrever
N'(s)=a(s)\,T(s)+b(s)\,N(s)+c(s)\,B(s)
para algumas funções escalares a,b,c. Vamos achar a,b,c fazendo produtos escalares:
  1. Produto escalar com N: como \|N\|=1, diferenciando N\cdot N=1
2\,N\cdot N' = 0 \quad\Rightarrow\quad N\cdot N' = 0,
logo b(s)=0.
  1. Produto escalar com T: diferencie T\cdot N=0. Obtém-se
T'\cdot N + T\cdot N' = 0.
Substituir T' = k N
k\,N\cdot N + T\cdot N' = k + T\cdot N' = 0 \quad\Rightarrow\quad T\cdot N' = -k.
Portanto a(s) = -k(s).
  1. Produto escalar com B: definimos o coeficiente restante como
c(s)=N'\cdot B \equiv \tau(s),
onde \tau(s) será a torção. Não determinamos ainda seu valor numérico, apenas a definimos como essa projeção.
Assim obtemos
N'(s) = -k(s)\,T(s) + \tau(s)\,B(s).
Didática: usamos a ortonormalidade e as derivadas das relações T\cdot T=1, N\cdot N=1, T\cdot N=0 para forçar os coeficientes.

Passo 6

Derivação de B'(s) a partir de B=T\times N.
Diferenciando B(s)=T(s)\times N(s) obtemos (regra do produto vetorial)
B'(s)=T'(s)\times N(s) + T(s)\times N'(s).
Substituir T'=kN e N'=-kT+\tau B
B' = (kN)\times N + T\times(-kT+\tau B).
Simplificar termo a termo:
  • (kN)\times N = 0 porque N\times N=0.
  • T\times(-kT)=0 porque T\times T=0.
  • T\times(\tau B)=\tau\,(T\times B).
Logo
B' = \tau\,(T\times B).
Agora usar a identidade T\times B = T\times (T\times N). Aplicando a identidade vetorial A\times(B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) com A=T,B=T,C=N temos
T\times(T\times N) = T(T\cdot N) - N(T\cdot T) = -N
porque T\cdot N=0 e T\cdot T=1. Assim T\times B = -N. Portanto
B' = \tau\,(-N) = -\tau\,N.
Conclusão: a terceira equação é
B'(s) = -\tau(s)\,N(s).
Observação: da expressão também segue que \tau = -B'\cdot N.

Passo 7

Fórmula alternativa (útil na prática) para a torção \tau em termos de \beta e suas derivadas.
Usando T=\beta', T'=\beta'' e T''=\beta''' (já que a parametrização é por comprimento de arco), podemos obter uma expressão fechada para \tau. Calcular primeiro T'\times T'' usando T'=kN e a expressão de T'' obtida ao derivar T'=kN:
Derivar T'=kN
T'' = k'\,N + k\,N'.
Substituir N' = -kT + \tau B
T'' = k'\,N + k(-kT + \tau B) = -k^{2}T + k'\,N + k\tau\,B.
Agora calcular T'\times T'':
T'\times T'' = (kN)\times\bigl(-k^{2}T + k' N + k\tau B\bigr).
Os termos com N\times N e com N\times T e N\times B reduzem-se (usar N\times N=0, N\times T = -B, N\times B = T) e chega-se a
T'\times T'' = k^{3}B + k^{2}\tau\,T.
Fazendo o produto escalar com T obtemos
T\cdot (T'\times T'') = k^{2}\tau.
Portanto, isolando \tau,
\tau(s) = \frac{T(s)\cdot\bigl(T'(s)\times T''(s)\bigr)}{k(s)^{2}}.
Voltando para a notação de \beta (já que T=\beta', T'=\beta'', T''=\beta''') obtemos a forma prática
\tau(s) = \frac{\beta'(s)\cdot\bigl(\beta''(s)\times \beta'''(s)\bigr)}{\|\beta''(s)\|^{2}}.
Comentário prático: essa fórmula permite calcular \tau diretamente a partir das derivadas da curva (quando parametrizada por comprimento de arco). Se a curva não estiver em parâmetro de arco, existe uma fórmula análoga porém com fatores adicionais.

Passo 8

Resumo e fechamento: listagem das três equações e interpretação rápida.
Relembrando as definições e resultados:
  • T=\beta', \|T\|=1.
  • k=\|T'\|, N=\dfrac{T'}{k}.
  • B=T\times N.
  • \tau = N'\cdot B = -B'\cdot N e pode ser calculada por \tau = \dfrac{\beta'\cdot (\beta''\times \beta''')}{\|\beta''\|^{2}}.
As três equações de Frenet–Serret ficam então:
T' = k\,N,\qquad N' = -k\,T + \tau\,B,\qquad B' = -\tau\,N.

Resposta

\,T' = k\,N
\,N' = -k\,T + \tau\,B
\,B' = -\tau\,N

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