Seja
, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco
.
Deduzir as equações de Frenet-Serret,
onde
é o referencial móvel de Frenet-Serret.
Deduzir as equações de Frenet-Serret,
onde
Passo 1
O enunciado dá uma curva
parametrizada pelo comprimento de arco
. Ou seja, a variável da curva é
e vale
para todo
.
O que se pede: deduzir as equações de Frenet–Serret
onde
é o referencial móvel de Frenet–Serret,
é a curvatura e
a torção.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é parametrizada por comprimento de arco
, logo tem norma . - Precisamos introduzir e relacionar os vetores do referencial móvel:
(vetor tangente unitário), (vetor normal principal unitário) e (binormal unitário), e definir e .
Passo 2
Definição e primeira propriedade: vetor tangente unitário.
Definir o vetor tangente unitário
Como a parametrização é por comprimento de arco, tem-se
Diferenciando
em relação a
obtemos
Isso mostra que
é sempre ortogonal a
(a derivada do vetor de norma unitária é perpendicular ao próprio vetor).
Comentário didático curto: pensar em
como a direção da curva;
mede a mudança dessa direção e, por isso, não tem componente na própria direção
.
Passo 3
Definição de curvatura
e do vetor normal
; derivação de
.
Definir a curvatura (positivo por construção)
Como
é ortogonal a
, se
podemos definir o vetor normal unitário
Reescrevendo
em termos de
obtemos imediatamente a primeira equação de Frenet–Serret:
Explicação intuitiva:
mede o quanto a direção tangente gira por unidade de comprimento (quanto a curva “curva”), e
aponta a direção dessa curvatura.
Passo 4
Construção do binormal
e ortonormalidade do referencial.
Definir o binormal como o produto vetorial (orientação direita)
Mostra-se que
é um triângulo ortonormal:
-
por construção. -
. -
é ortogonal a e a por propriedade do produto vetorial.
Assim temos um referencial móvel ortonormal bem definido enquanto
.
Passo 5
Expressar
como combinação linear dos vetores do referencial e determinar os coeficientes.
Como
é base ortonormal, podemos escrever
para algumas funções escalares
. Vamos achar
fazendo produtos escalares:
- Produto escalar com
: como , diferenciando dá
logo
.
- Produto escalar com
: diferencie . Obtém-se
Substituir
dá
Portanto
.
- Produto escalar com
: definimos o coeficiente restante como
onde
será a torção. Não determinamos ainda seu valor numérico, apenas a definimos como essa projeção.
Assim obtemos
Didática: usamos a ortonormalidade e as derivadas das relações
,
,
para forçar os coeficientes.
Passo 6
Derivação de
a partir de
.
Diferenciando
obtemos (regra do produto vetorial)
Substituir
e
dá
Simplificar termo a termo:
-
porque . -
porque . -
.
Logo
Agora usar a identidade
. Aplicando a identidade vetorial
com
temos
porque
e
. Assim
. Portanto
Conclusão: a terceira equação é
Observação: da expressão também segue que
.
Passo 7
Fórmula alternativa (útil na prática) para a torção
em termos de
e suas derivadas.
Usando
,
e
(já que a parametrização é por comprimento de arco), podemos obter uma expressão fechada para
. Calcular primeiro
usando
e a expressão de
obtida ao derivar
:
Derivar
dá
Substituir
dá
Agora calcular
:
Os termos com
e com
e
reduzem-se (usar
,
,
) e chega-se a
Fazendo o produto escalar com
obtemos
Portanto, isolando
,
Voltando para a notação de
(já que
,
,
) obtemos a forma prática
Comentário prático: essa fórmula permite calcular
diretamente a partir das derivadas da curva (quando parametrizada por comprimento de arco). Se a curva não estiver em parâmetro de arco, existe uma fórmula análoga porém com fatores adicionais.
Passo 8
Resumo e fechamento: listagem das três equações e interpretação rápida.
Relembrando as definições e resultados:
-
, . -
, . -
. -
e pode ser calculada por .
As três equações de Frenet–Serret ficam então: