Verifique o Teorema de Green para o campo
e a região dada;
A região limitada pelos gráficos das equações
e
, no segundo quadrante.
e a região dada;
A região limitada pelos gráficos das equações
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. Ou seja, e . - A região é “a região limitada pelos gráficos das equações
e , no segundo quadrante”.
O que o exercício pede:
- Verificar a igualdade entre a integral de linha do campo ao longo da fronteira orientada positivamente (sentido anti-horário) e a integral dupla sobre a região do rotacional apropriado (ou seja, verificar a fórmula que relaciona as duas integrais).
Informações geométricas importantes que vou usar:
- Resolver
(substituindo ) dá com raízes e . O ponto relevante no segundo quadrante é , que fornece o ponto de interseção . - A parábola cruza o eixo
em . A reta cruza o eixo em . - Portanto, a porção da região no segundo quadrante é fechada pelos três arcos: segmento do eixo
entre e , o arco da parábola entre e e o trecho da reta entre e . Vou chamar essas curvas, orientadas positivamente (anti-horário), de (eixo ), (parábola) e (reta). - Assim a fronteira
é fechada e simples, e a região pode ser descrita por
Passo 2
Apresentando a fórmula que vamos verificar (forma prática do enunciado): para
e região
com fronteira
orientada positivamente,
Explicando os termos (em linguagem direta):
-
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é a derivada parcial de em relação a . - O lado esquerdo é a integral de linha (circulação) do campo ao longo da curva
. - O lado direito é uma integral dupla sobre a região
do escalar .
Calculemos as derivadas parciais do campo dado:
Portanto o integrando da integral dupla é
Passo 3
Calcular a integral dupla
usando as coordenadas descritas em
Passo 4
Montando a integral iterada com
variando de
até
e
de
até
:
Calcule a integral interna em
:
Avaliações:
- Em
:
- Em
:
Subtraindo:
Agora integramos em
de
a
:
Calcule a primitiva termo a termo:
Logo a antiderivada é
Avaliar entre
e
:
Calcule
:
Colocando sobre denominador comum
:
Soma:
, portanto
. Assim
Passo 5
Agora calculamos a integral de linha
diretamente sobre as três curvas
com orientação positiva (anti-horário). Vou calcular cada contribuição e somar.
Curva
: eixo
de
a
.
- Parametrização:
. -
. -
, .
Integral:
Curva
: arco da parábola
de
a
.
- Parametrização:
, com indo de a (porque percorrendo da direita para a esquerda). -
. -
. -
Integral:
Calcule
. Efetuando a álgebra (detalhes arbitrários omitidos por brevidade, mas feitos passo a passo):
Então
Inverto limites para integrar de
a
trocando o sinal:
Portanto integrando termo a termo e avaliando, obtém-se (calculei explicitamente)
Curva
: reta
de
a
.
- Parametrização:
. -
. -
. -
.
Integral:
Passo 6
Somando as contribuições das três curvas:
Colocando tudo sobre
:
,
. Então
Comparando com o resultado da integral dupla (obtida em
Passo 7
Portanto a igualdade pedida está verificada: a integral de linha sobre a fronteira orientada positivamente vale o mesmo que a integral dupla do rotacional sobre
.