Calcule \int_{\alpha}(x y-x+y) d S onde \alpha é a curva abaixo:
(a) \alpha é o segmento orientado de \((-1,2)) a \((2,3));
(b) \alpha é a parte da reta \(2 x+3 y=1) orientada de \((-1,1)) a \((2,-1));
(c) \alpha é a circunferência \(x^{2}+y^{2}=1) orientada positivamente.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral de linha com respeito ao comprimento de arco
\int_{\alpha} (x y - x + y)\, dS
para três curvas diferentes:
  • (a) \alpha é o segmento orientado de (-1,2) a (2,3).
  • (b) \alpha é a parte da reta 2x+3y=1 orientada de (-1,1) a (2,-1).
  • (c) \alpha é a circunferência x^{2}+y^{2}=1 orientada positivamente (sentido anti-horário).
Informações dadas que vamos usar:
  • Para (a) e (b) são segmentos de reta com pontos inicial e final conhecidos (forneci os pares de coordenadas do enunciado).
  • Para (c) a curva é a circunferência-unidade centrada na origem.
O enunciado pede os três valores das integrais correspondentes. A orientação foi dada, mas note que, quando a integral é em relação ao comprimento de arco dS, a orientação não altera o valor (veremos isso no passo seguinte).

Passo 2

Fórmula e ideia geral (aula rápida e prática): se \alpha é uma curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
então a integral do escalar f(x,y) ao longo de \alpha em relação ao comprimento de arco é
\int_{\alpha} f(x,y)\, dS = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\, dt.
Explicando cada parte:
  • f(x,y) é a função a integrar; aqui f(x,y)=xy-x+y.
  • x(t),y(t) são as coordenadas ao longo da curva; ou seja, cada ponto da curva corresponde a um t.
  • \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade do ponto na curva; multiplicando por dt obtemos um pedacinho de comprimento de arco dS.
    Observação prática: a orientação da curva (qual direção percorremos) não muda \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} nem o valor da integral porque dS é sempre positivo; portanto a integral escalar em dS é independente da orientação.
Agora vamos aplicar esta fórmula em cada caso, parametrizando a curva de maneira simples (normalmente por um parâmetro t\in[0,1] para segmentos e por \theta\in[0,2\pi] para círculos).

Passo 3

Parte (a) — parametrização do segmento de (-1,2) a (2,3).
Parametrização linear natural usando t\in[0,1]:
\mathbf{r}(t)=(-1,2)+t\big((2,3)-(-1,2)\big)=(-1+3t,\;2+t),\qquad 0\le t\le1.
Logo
x(t)=-1+3t,\qquad y(t)=2+t.
Derivadas:
x'(t)=3,\qquad y'(t)=1,
portanto
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}.
Agora calcule f(x(t),y(t)) onde f(x,y)=xy-x+y.
Calcule passo a passo x(t)\,y(t):
x(t)y(t)=(-1+3t)(2+t)=-2+5t+3t^{2}.
Calcule -x(t)+y(t):
-x(t)+y(t)=-(-1+3t)+(2+t)=1-3t+2+t=3-2t.
Somando:
f(x(t),y(t))=x(t)y(t)-x(t)+y(t)=(-2+5t+3t^{2})+(3-2t)=1+3t+3t^{2}.

Passo 4

Continuação (a) — integrar.
A integral fica
\int_{\alpha} (xy-x+y)\, dS = \int_{0}^{1} \big(1+3t+3t^{2}\big)\,\sqrt{10}\, dt = \sqrt{10}\int_{0}^{1} \big(1+3t+3t^{2}\big)\, dt.
Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{1} \big(1+3t+3t^{2}\big)\, dt = \Big[t+\tfrac{3}{2}t^{2}+t^{3}\Big]_{0}^{1} =1+\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{7}{2}.
Portanto o valor para (a) é
\frac{7}{2}\sqrt{10}.

Passo 5

Parte (b) — parametrização da parte da reta 2x+3y=1 de (-1,1) a (2,-1).
Usamos parametrização linear entre os pontos, t\in[0,1]:
\mathbf{r}(t)=(-1,1)+t\big((2,-1)-(-1,1)\big)=(-1+3t,\;1-2t),\qquad 0\le t\le1.
Portanto
x(t)=-1+3t,\qquad y(t)=1-2t.
Derivadas:
x'(t)=3,\qquad y'(t)=-2,
e a velocidade é
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}.
Agora calcule f(x(t),y(t))=x(t)y(t)-x(t)+y(t).
Calcule x(t)y(t):
x(t)y(t)=(-1+3t)(1-2t)=-1+5t-6t^{2}.
Calcule -x(t)+y(t):
-x(t)+y(t)=-(-1+3t)+(1-2t)=1-3t+1-2t=2-5t.
Somando:
f(x(t),y(t))=(-1+5t-6t^{2})+(2-5t)=1-6t^{2}.

Passo 6

Continuação (b) — integrar.
A integral torna-se
\int_{\alpha} (xy-x+y)\, dS = \int_{0}^{1} \big(1-6t^{2}\big)\,\sqrt{13}\, dt = \sqrt{13}\int_{0}^{1} \big(1-6t^{2}\big)\, dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} \big(1-6t^{2}\big)\, dt = \Big[t-2t^{3}\Big]_{0}^{1}=1-2=-1.
Portanto o valor para (b) é
-\,\sqrt{13}.

Passo 7

Parte (c) — circunferência x^{2}+y^{2}=1 orientada positivamente.
Parametrização usual por ângulo \theta, \theta\in[0,2\pi]:
\mathbf{r}(\theta)=(\cos\theta,\;\sin\theta),\qquad 0\le\theta\le2\pi.
Derivadas:
x'(\theta)=-\sin\theta,\qquad y'(\theta)=\cos\theta,
logo a velocidade é
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}=1,
ou seja dS=d\theta na parametrização por \theta.
Agora f(x,y)=xy-x+y em termos de \theta:
x(\theta)y(\theta)=\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta),
portanto
f\big(x(\theta),y(\theta)\big)=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)-\cos\theta+\sin\theta.

Passo 8

Continuação (c) — integrar.
A integral é
\int_{\alpha} (xy-x+y)\, dS = \int_{0}^{2\pi} \Big(\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)-\cos\theta+\sin\theta\Big)\, d\theta.
Cada termo é integral de uma função com período adequado sobre um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\, d\theta=0, \qquad \int_{0}^{2\pi}-\cos\theta\, d\theta= -\big[\sin\theta\big]_{0}^{2\pi}=0, \qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\, d\theta= \big[-\cos\theta\big]_{0}^{2\pi}=0.
Somando, obtemos 0. Portanto o valor para (c) é
0.

Resposta

\dfrac{7}{2}\sqrt{10}
-\sqrt{13}
0

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