Calcule
onde
é a curva abaixo:
(a)
é o segmento orientado de
) a
);
(b)
é a parte da reta
) orientada de
) a
);
(c)
é a circunferência
) orientada positivamente.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral de linha com respeito ao comprimento de arco
para três curvas diferentes:
- (a)
é o segmento orientado de a . - (b)
é a parte da reta orientada de a . - (c)
é a circunferência orientada positivamente (sentido anti-horário).
Informações dadas que vamos usar:
- Para (a) e (b) são segmentos de reta com pontos inicial e final conhecidos (forneci os pares de coordenadas do enunciado).
- Para (c) a curva é a circunferência-unidade centrada na origem.
O enunciado pede os três valores das integrais correspondentes. A orientação foi dada, mas note que, quando a integral é em relação ao comprimento de arco
, a orientação não altera o valor (veremos isso no passo seguinte).
Passo 2
Fórmula e ideia geral (aula rápida e prática): se
é uma curva parametrizada por
então a integral do escalar
ao longo de
em relação ao comprimento de arco é
Explicando cada parte:
-
é a função a integrar; aqui . -
são as coordenadas ao longo da curva; ou seja, cada ponto da curva corresponde a um . -
é a velocidade do ponto na curva; multiplicando por obtemos um pedacinho de comprimento de arco .
Observação prática: a orientação da curva (qual direção percorremos) não mudanem o valor da integral porque é sempre positivo; portanto a integral escalar em é independente da orientação.
Agora vamos aplicar esta fórmula em cada caso, parametrizando a curva de maneira simples (normalmente por um parâmetro
para segmentos e por
para círculos).
Passo 3
Parte (a) — parametrização do segmento de
a
.
Parametrização linear natural usando
:
Logo
Derivadas:
portanto
Agora calcule
onde
.
Calcule passo a passo
:
Calcule
:
Somando:
Passo 4
Continuação (a) — integrar.
A integral fica
Calcule a integral iterada:
Portanto o valor para (a) é
Passo 5
Parte (b) — parametrização da parte da reta
de
a
.
Usamos parametrização linear entre os pontos,
:
Portanto
Derivadas:
e a velocidade é
Agora calcule
.
Calcule
:
Calcule
:
Somando:
Passo 6
Continuação (b) — integrar.
A integral torna-se
Calcule a integral:
Portanto o valor para (b) é
Passo 7
Parte (c) — circunferência
orientada positivamente.
Parametrização usual por ângulo
,
:
Derivadas:
logo a velocidade é
ou seja
na parametrização por
.
Agora
em termos de
:
portanto
Passo 8
Continuação (c) — integrar.
A integral é
Cada termo é integral de uma função com período adequado sobre um período inteiro:
Somando, obtemos
. Portanto o valor para (c) é