Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(B) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right] M
(C) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(D) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(E) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right]
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right] M
(H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^3 e uma matriz A tal que
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
Foi definida a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right] (i.e., M tem as \vec{v}_i como colunas).
O que o enunciado pede (indiretamente) é qual das igualdades entre A, M e alguma matriz compatível é verdadeira entre as alternativas (A)–(H).

Passo 2

Propriedade básica (útil e muito usada em provas): se M=\left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\right], então o produto A M é a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\\ \;A\vec{v}_{2}\\ \;A\vec{v}_{3}\;\right].
Explicando devagar: multiplicar A por M equivale a aplicar a transformação linear (representada por A) a cada coluna de M. Isso é porque a multiplicação matriz-vetor trata cada coluna de M como um vetor independente.

Passo 3

Para usar a igualdade do passo anterior, precisamos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear das colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} — isto é, obter as coordenadas de A\vec{v}_{j} na base \beta.
Dados do enunciado:
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}.
Isso já está escrito como combinação das \vec{v}_i. As coordenadas de A\vec{v}_{1} na base \beta são
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois há 3 de \vec{v}_1, 0 de \vec{v}_2 e 0 de \vec{v}_3.
Em seguida,
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
As coordenadas de A\vec{v}_{2} na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix},
pois há 1 de \vec{v}_1, 0 de \vec{v}_2 e -3 de \vec{v}_3.
Finalmente,
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3},
cuja coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Juntando as colunas de coordenadas obtidas no passo anterior, a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta é
C=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Pelo Passo 2 temos A M=\left[A\vec{v}_{1}\;A\vec{v}_{2}\;A\vec{v}_{3}\right]. Como cada A\vec{v}_{j} foi escrita como combinação linear das colunas de M com coordenadas dadas pelas colunas de C, obtemos a relação matricial
A M = M C.
Substituindo C,
A M = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparamos essa igualdade com as alternativas. A alternativa que diz exatamente
A M = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}
é a alternativa (F). Logo (F) é a correta.]

Resposta

(F)

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