Foi definida a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right] (i.e., M tem as \vec{v}_i como colunas).
O que o enunciado pede (indiretamente) é qual das igualdades entre A, M e alguma matriz compatível é verdadeira entre as alternativas (A)–(H).
Passo 2
Propriedade básica (útil e muito usada em provas): se M=\left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\right], então o produto A M é a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\\ \;A\vec{v}_{2}\\ \;A\vec{v}_{3}\;\right].
Explicando devagar: multiplicar A por M equivale a aplicar a transformação linear (representada por A) a cada coluna de M. Isso é porque a multiplicação matriz-vetor trata cada coluna de M como um vetor independente.
Passo 3
Para usar a igualdade do passo anterior, precisamos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear das colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} — isto é, obter as coordenadas de A\vec{v}_{j} na base \beta.
Dados do enunciado:
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}.
Isso já está escrito como combinação das \vec{v}_i. As coordenadas de A\vec{v}_{1} na base \beta são
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois há 3 de \vec{v}_1, 0 de \vec{v}_2 e 0 de \vec{v}_3.
Em seguida,
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
As coordenadas de A\vec{v}_{2} na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix},
pois há 1 de \vec{v}_1, 0 de \vec{v}_2 e -3 de \vec{v}_3.
Finalmente,
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3},
cuja coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]
Passo 4
Juntando as colunas de coordenadas obtidas no passo anterior, a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta é
Pelo Passo 2 temos A M=\left[A\vec{v}_{1}\;A\vec{v}_{2}\;A\vec{v}_{3}\right]. Como cada A\vec{v}_{j} foi escrita como combinação linear das colunas de M com coordenadas dadas pelas colunas de C, obtemos a relação matricial
A M = M C.
Substituindo C,
A M = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.]
Passo 6
Comparamos essa igualdade com as alternativas. A alternativa que diz exatamente
A M = M\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}