Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=2 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(B) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(C) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(D) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] M
(E) M A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -3\end{array}\right] M
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right]
(G) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, uma matriz A (operador linear A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}) e as ações de A sobre os vetores da base:
A\vec{v}_{1}=2\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
Também é dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}\vec{v}_{1}&\vec{v}_{2}&\vec{v}_{3}\end{array}\right], isto é, M tem como colunas os vetores da base \beta.
O que o enunciado pede: identificar quais das igualdades (A)–(H) são verdadeiras. Cada igualdade é uma relação matricial envolvendo A e M. Vamos verificar qual delas coincide com a relação correta entre A, M e a matriz de A na base \beta.

Passo 2

Conceito importante (lição curta): se M tem como colunas os vetores da base \beta, então
A M = \big[\,A\vec{v}_{1}\; A\vec{v}_{2}\; A\vec{v}_{3}\,\big].
Por outro lado, escrever as imagens A\vec{v}_{j} em coordenadas na base \beta fornece colunas c_{j} tais que
A\vec{v}_{j} = c_{1j}\vec{v}_{1} + c_{2j}\vec{v}_{2} + c_{3j}\vec{v}_{3}.
Se C for a matriz cujas colunas são esses vetores coluna c_{j} (as coordenadas de A\vec{v}_{j} na base \beta), então
M C = \big[\,c_{1}\,\;c_{2}\,\;c_{3}\,\big] \text{ em forma de combinações lineares das colunas de }M,çõ
e portanto vale a relação fundamental de mudança de base
A M = M C.
Resumo prático para a prova: gerar C calculando as coordenadas de cada A\vec{v}_{j} na base \beta; então comparar C com as matrizes mostradas nas alternativas que aparecem multiplicando à direita de M.

Passo 3

Agora calculamos explicitamente as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.
  • Para \;A\vec{v}_{1}=2\vec{v}_{1}: isso já está em termos da base \beta. As coordenadas são \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} (coeficiente de \vec{v}_{1} é 2, de \vec{v}_{2} é 0, de \vec{v}_{3} é 0).
  • Para \;A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{3}: as coordenadas na base \beta são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} (coeficiente de \vec{v}_{1} é 1, de \vec{v}_{2} é 0, de \vec{v}_{3} é -2).
  • Para \;A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}: as coordenadas na base \beta são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas juntas, a matriz C (a matriz de A na base \beta) é
C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Pelo raciocínio do Passo 2 temos a identidade correta
A M = M C,
com C dada no Passo 3. Agora comparo C com as matrizes das alternativas que aparecem à direita de M nas alternativas do tipo A M = M(\cdot).
A alternativa (H) afirma precisamente
A M = M\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -3 \end{pmatrix},
que coincide exatamente com a matriz C que encontramos. Portanto (H) é verdadeira.
As demais alternativas que têm a forma A M = M(\cdot) mostram matrizes diferentes de C (linhas/colunas permutadas ou sinais diferentes), então não coincidem com a relação correta. As alternativas que envolvem M A à esquerda também não correspondem à identidade padrão A M = M C (a forma correta é A M = M C), logo elas não são corretas aqui.]

Passo 5

Conclusão prática e motivação para a prova: para checar relações entre uma matriz A e a matriz M cujas colunas são uma base, sempre escreva A M como [A\vec{v}_{1}\;A\vec{v}_{2}\;A\vec{v}_{3}] e exprima cada A\vec{v}_{j} em coordenadas na base. Isso dá diretamente a matriz C tal que A M = M C. Neste exercício essa operação levou à alternativa (H).

Resposta

(H)

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